Question

如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB＝8，∠CBA＝30°，點D在線段AB上運動，點E與點D關于AC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F．下列結論：①CE＝CF；②線段EF的最小值為；③當AD＝2時，EF與半圓相切；④若點F恰好落在BC上，則AD＝；⑤當點D從點A運動到點B時，線段EF掃過的面積是．其中正確結論的序號是       ．

Answer 1

①③⑤.

試題分析：①如圖，連接CD，
∵根據軸對稱的性質，CE＝CD，∴∠DCE＝∠ECD.
又∵DF⊥DE，∴.∴CD="CF." ∴CE＝CF. 結論①正確.

②∵由①知，EF＝2CD，∴當線段EF最小時，線段CD也最小.
根據垂直線段最短的性質，當CD⊥AD時線段CD最小.
∵AB是半圓O 的直徑，∴∠ACB＝90°.
∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴AC＝4，BC＝.
當CD⊥AD時，，
∴線段EF的最小值為. 結論②錯誤.
③如圖，連接CD，CO，
∵∠CAB＝90°，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°. ∴△AOB是等邊三角形，∴AO=4，∠OCA＝60°.
∴當AD＝2時，CD⊥AD，∠OCD＝∠DOA＝30°.
∵根據軸對稱的性質，∠EOA＝∠DOA＝30°，∴∠ECO＝90°.
∴EF與半圓相切. 結論③正確.

④若點F恰好落在BC上，則點D，F重合于點B，AD="AB=8." 結論④錯誤.
⑤當點D從點A運動到點B時，線段EF掃過的面積是△ABC面積的2倍，為. 結論⑤正確.
綜上所述，結論正確的是①③⑤.