Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AB＞AC，BE，CF都是△ABC的高線，P是BE上一點，且BP＝AC，Q是CF延長線上一點，且CQ＝AB，連結AP，AQ，QP.求證：

(1)AQ＝PA.

(2)AP⊥AQ.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】試題分析：（1）由已知條件可求出∠ABP=∠QCA，即可根據SAS證得△AQC≌△PAB(SAS)，就可以得出AP=AQ；

（2）根據全等三角形的性質，由△AQC≌△PAB可得出∠BAP=∠CQA，再由∠CQA+∠FAQ=90°，即可證明.

試題解析：(1)∵BE，CF是△ABC的高線，

∴BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠ABP＋∠BAC＝∠ACQ＋∠BAC＝90°，

∴∠ABP＝∠ACQ.

在△AQC和△PAB中，∵

∴△AQC≌△PAB(SAS)．∴AQ＝PA.

(2)∵△AQC≌△PAB，∴∠BAP＝∠CQA.

∵∠CQA＋∠BAQ＝90°，

∴∠BAP＋∠BAQ＝90°，∴AP⊥AQ.