Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx﹣4經過A（﹣8，0），B（2，0）兩點，直線x=﹣4交x軸于點C，交拋物線于點D．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線上，點E在直線x=﹣4上，若以A，O，E，P為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標；
（3）若B，D，C三點到同一條直線的距離分別是d₁，d₂，d₃，問是否存在直線l，使？若存在，請直接寫出d₃的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx﹣4經過A（﹣8，0），B（2，0）兩點，
∴，解得：。
∴拋物線的解析式為。
（2）∵點P在拋物線上，點E在直線x=﹣4上，
設點P的坐標為（m，，點E的坐標為（﹣4，n），
如圖1，∵點A（﹣8，0），∴AO=8。

①當AO為一邊時，EP∥AO，且EP=AO=8，
∴|m+4|=8，解得：m₁=﹣12，m₂=4。
∴P₁（﹣12，14），P₂（4，6）。
②當AO為對角線時，則點P和點E必關于點C成中心對稱，故CE=CP。
∴，解得：。
∴P₃（﹣4，﹣6）。
綜上所述，當P₁（﹣12，14），P₂（4，6），P₃（﹣4，﹣6）時，A，O，E，P為頂點的四邊形是平行四邊形。
（3）存在4條符合條件的直線。d₃的值為。

解析試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式。
（2）平行四邊形可能有多種情形，如答圖1所述，需要分類討論：
①以AO為一邊的平行四邊形，有2個；
②以AO為對角線的平行四邊形，有1個，此時點P和點E必關于點C成中心對稱。
（3）存在4條符合條件的直線。
如圖2所示，連接BD，過點C作CH⊥BD于點H，

由題意得C（﹣4，0），B（2，0），D（﹣4，﹣6），
∴OC=4，OB=2，CD=6�！唷鰿DB為等腰直角三角形。
∴CH=CD•sin45°=6×=。
∵BD=2CH，∴BD=。
①∵CO：OB=2：1，
∴過點O且平行于BD的直線l₁滿足條件。
作BE⊥直線l₁于點E，DF⊥直線l₁于點F，設CH交直線l₁于點G，
∴BE=DF，即：d₁=d₂。
則，即，∴d₃=2d₁，∴。
∴CG=CH，即d₃=。
②如圖2，在△CDB外作直線l₂∥DB，延長CH交l₂于點G′，使CH=HG′，
∴d₃=CG′=2CH=。
③如圖3，過H，O作直線l₃，作BE⊥l₃于點E，DF⊥l₃于點F，CG⊥l₃于點G，

由①可知，DH=BH，則BE=DF，即：d₁=d₂．
∵CO：OB=2：1，∴。
作HI⊥x軸于點I，
∴HI=CI=CB=3，∴OI=4﹣3=1。
∴。
∵△OCH的面積=×4×3=×d₃，∴d₃=。
④如圖3，根據等腰直角三角形的對稱性，可作出直線l₄，易證：
，d₃=。
綜上所述，存在直線l，使．d3的值為：。