Question

已知二次函數y=-x²+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個交點坐標為（-1，0），與y軸的交點坐標為（0，3）．
（1）試求二次函數的解析式；
（2）求y的最大值；
（3）寫出當y＞0時，x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由二次函數圖象與x軸的一個交點坐標為（-1，0），與y軸的交點坐標為（0，3），分別把橫坐標和縱坐標代入二次函數解析式，得到關于b與c的方程組，求出方程組的解得到b與c的值，進而確定出二次函數的解析式；
（2）由第一問求出的函數解析式，找出二次項系數a，根據a小于0，得到拋物線的開口向下，y有最大值，最大值即為頂點的縱坐標，利用頂點坐標公式即可求出y的最大值；
（3）令二次函數解析式中的y=0得到關于x的方程，求出方程的解即為二次函數與x軸交點的橫坐標，根據圖象可得出y大于0時x的范圍．

解答：解：（1）∵二次函數圖象與x軸的一個交點坐標為（-1，0），與y軸的交點坐標為（0，3），
∴x=-1，y=0代入y=-x²+bx+c得：-1-b+c=0①，
把x=0，y=3代入y=-x²+bx+c得：c=3，
把c=3代入①，解得b=2，
則二次函數解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵二次函數y=-x²+2x+3的二次項系數a=-1＜0，
∴拋物線的開口向下，
則當x=-

b

2a

=-

2

-2

=1時，y有最大值，最大值為

4ac-b2

4a

=4；

（3）令二次函數解析式中的y=0得：-x²+2x+3=0，
可化為：（x-3）（x+1）=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
由函數圖象可知：當-1＜x＜3時，y＞0．

點評：此題考查了利用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數最值的求法，以及二次函數與不等式的關系，利用了轉化及數形結合的數學思想，其中待定系數法確定函數解析式一般步驟為：設出函數解析式，把圖象上點的坐標代入所設的解析式，得到方程組，求出方程組的解可得出系數的值，從而確定出函數解析式．