Question

【題目】已知二次函數y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m為常數，且a≠0）．
（1）求證：不論a與m為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個公共點．
（2）設該函數的圖象的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于D點．
①當△ABC的面積為1時，求a的值．
②當△ABC的面積與△ABD的面積相等時，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：令y=0，a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=0，

△=（﹣a）2﹣4a×0=a2，

∵a≠0，

∴a2＞0，

∴不論a與m為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個公共點

（2）

解：①y=0，則a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m）（x﹣m﹣1）=0，

解得x1=m，x2=m+1，

∴AB=（m+1）﹣m=1，

y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m﹣ ）2﹣ ，

△ABC的面積= ×1×|﹣ |=1，

解得a=±8；

②x=0時，y=a（0﹣m）2﹣a（0﹣m）=am2+am，

所以，點D的坐標為（0，am2+am），

△ABD的面積= ×1×|am2+am|，

∵△ABC的面積與△ABD的面積相等，

∴ ×1×|am2+am|= ×1×|﹣ |，

整理得，m2+m﹣ =0或m2+m+ =0，

解得m= 或m=﹣

【解析】（1）把（x﹣m）看作一個整體，令y=0，利用根的判別式進行判斷即可；（2）①令y=0，利用因式分解法解方程求出點A、B的坐標，然后求出AB，再把拋物線轉化為頂點式形式求出頂點坐標，再利用三角形的面積公式列式進行計算即可得解；②令x=0求出點D的坐標，然后利用三角形的面積列式計算即可得解．
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．