Question

（1）如圖1，正方形ABCD的面積為2a，將正方形ABCD的對角線BD繞點B按逆時針方向旋轉90°至BE，以BD和BE為鄰邊作正方形BDFE，則正方形BDFE的面積為

 

（用含a的代數式表示）；
（2）如圖2所示，再將正方形BDFE的對角線BF繞點B按逆時針方向旋轉90°至BG，以BF和BG為鄰邊作正方形BFHG，則正方形BFHG的面積為

 

（用含a的代數式表示）；
（3）如果按著上述的過程作第2010次旋轉后，所得到的正方形的面積為

 

（用含a的代數式表示）；
（4）在一塊邊長為10米的正方形空地內種上草坪（如圖3陰影部分所示），由于這塊正方形空地的左邊和前邊都有許多空地，所以，就在它的左邊和前邊（按著圖2所示的過程）連續兩次對這塊草坪擴大種植面積，最后如圖3所示的整個區域內都種上草坪，那么此時的草坪面積是多少平方米？

Answer 1

分析：（1）可求出邊長AB，BD的長，繼而可求出正方形BDFE的面積為4a．
（2）可求出邊長GF，HG的長，繼而可求出正方形BFHG的面積．
（3）觀察（1），（2），可知其面積按2的倍數遞增，可知第2010個正方形的面積．
（4）根據規律可知圖形的總面積為11a，a=50，易求出圖形的總面積．

解答：解：（1）已知正方形的面積為2a，則邊長AB=

2a

2

，
根據勾股定理可得BD=

a

，
所以正方形BDFE的面積為4a；
（2）依題意得出GF=2

a

，則HG=

2a

，
則正方形BFHG的面積為8a；
（3）根據規律可得下個正方形的面積為2²⁰¹¹a；
（4）依據上面的規律可知：圖形的總面積為8a+a+2a=11a，
由題意得：2a=10²，即a=50，
∴圖形的總面積為11×50=550（平方米）．
故答案為：4a，8a，2²⁰¹¹a．

點評：本題綜合考查了旋轉的性質以及正方形的性質，考生要注意的是總結規律解答．