Question

（2011•蘭州一模）如圖，已知：一次函數：y=-x+4的圖象與反比例函數：y=

3

x

（x＞0）的圖象分別交于A、B兩點．點M是一次函數圖象在第一象限部分上的任意一點，過M分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M₁、M₂，設矩形MM₁OM₂的面積為S₁；點N為反比例函數圖象上任意一點，過N分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為N₁、N₂，設矩形NN₁ON₂的面積為S₂；
（1）若設點M的坐標為（x，y），請寫出S₁關于x的函數表達式，并求出S₁的最大值及相應的x的值；
（2）填空：
①當S₁=S₂時，x=

1或3

；
②當S₁＞S₂時，x的取值范圍是

1＜x＜3

；
③當S₁＜S₂時的取值范圍是

0＜x＜1或3＜x＜4

．

Answer 1

分析：（1）根據點M的坐標，利用矩形的面積公式列式整理即可得解；
（2）根據反比例函數系數的意義可以求出S₂=3，然后利用二次函數圖象的增減性進行解答即可．

解答：解：（1）根據題意，S₁=xy=x（-x+4），
=-x²+4x，
=-（x-2）²+4，
∴S₁關于x的函數表達式為：S₁=-（x-2）²+4，
當x=2時，S₁的最大值，最大值為4；

（2）根據二次函數的增減性，當x＜2時，S₁的值隨x的增大而增大，
當x＞2時，S₁的值隨x的增大而減小，
∴①當S₁=S₂時，-x²+4x=3，
x²-4x+3=0，
（x-1）（x-3）=0，
∴x-1=0，x=3，
解得x₁=1，x₂=3，
②當S₁＞S₂時，1＜x＜3；
③直線y=-x+4與x軸的交點坐標為（4，0），
∴當S₁＜S₂時，0＜x＜1或3＜x＜4．
故答案為：（1）S₁=-（x-2）²+4；（2）①1或3，②1＜x＜3，③0＜x＜1或3＜x＜4．

點評：本題綜合考查了反比例函數的圖象性質，反比例函數比例系數k的幾何意義，二次函數的最值問題，以及矩形的性質，綜合性較強，對同學們的能力要求較高．