Question

【題目】如圖，直線 與x軸交于點A，與直線 y=kx-3交于點C（c,6），直線 與y軸交于點B，連接AB．
（1）求k的值；
（2）求證：∠CAO=∠BAO；
（3）P為OA上一點，連結(jié)PB，M為PB中點，延長MO交直線AC于點N，若OP=x， ,求y關(guān)于x的函數(shù)表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C（c，6）y=x+3，
∴c+3=6，
∴c=4，
∴C（4，6），
又 ∵ C（4，6）在y=kx-3 上，
∴4k-3=6，
∴k=.
（2）證明：∵AC所在直線方程為：y=x+3，
∴D（0，3），A（-4，0），
∴AO=4，DO=3，
∴AD=5，
又∵BC所在的直線方程為：y=x-3，
∴B（0，-3），
∴BO=3，
∴AB=5，
在△ADO和△ABO中，
∵，
∴△ADO≌△ABO，
∴∠CAO=∠BAO.

（3）解：過M作ME⊥OP，作NF⊥y軸，設(shè)N（a，a+3）,

∴Rt△OEM∽Rt△NFO，
∴==，
∴=，
∴a=，
又∵=y，
∴=y，
∴y=.
∴y關(guān)于x的函數(shù)表達式為：y=.

【解析】

（1）由待定系數(shù)法得出c=4，又 ∵由C（4，6）在y=kx-3 上，得出k的值.
（2）由AC和BC所在直線方程方可得出D（0，3），A（-4，0），B（0，-3）；從而可以利用全等三角形的判定SAS得出△ADO≌△ABO，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CAO=∠BAO.
（3）過M作ME⊥OP，作NF⊥y軸，設(shè)N（a，a+3）,根據(jù)已知條件可以證明Rt△OEM∽Rt△NFO，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以得出
==，從而得出a=，又由=y，得出y=.

【考點精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達式和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．