Question

【題目】在正方形ABCD中，點E是對角線AC上的動點（與點A，C不重合），連接BE．
（1）將射線BE繞點B順時針旋轉45°，交直線AC于點F．
①依題意補全圖1；

②小研通過觀察、實驗，發現線段AE，FC，EF存在以下數量關系：
AE與FC的平方和等于EF的平方．小研把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成證明該猜想的幾種想法：
想法1：將線段BF繞點B逆時針旋轉90°，得到線段BM，要證AE，FC，EF的關系，只需證AE，AM，EM的關系．
想法2：將△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要證AE，FC，EF的關系，只需證EN，FN，EF的關系．
…
請你參考上面的想法，用等式表示線段AE，FC，EF的數量關系并證明；（一種方法即可）
（2）如圖2，若將直線BE繞點B順時針旋轉135°，交直線AC于點F．小研完成作圖后，發現直線AC上存在三條線段（不添加輔助線）滿足：其中兩條線段的平方和等于第三條線段的平方，請直接用等式表示這三條線段的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①補全圖形，如圖1所示：

②AE2+FC2=EF2；理由如下：

過B作MB⊥BF，使BM=BF，連接AM、EM，如圖2所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，∠1=∠2=45°，AB=BC，

∵∠3=45°，

∴∠MBE=∠3=45°，

在△MBE和△FBE中， ，

∴△MBE≌△FBE（SAS），

∴EM=EF，∵∠4=90°﹣∠ABF，∠5=90°﹣∠ABF，

∴∠4=∠5，

在△AMB和△CFB中， ，

∴△AMB≌△CFB（SAS），

∴AM=FC，∠6=∠2=45°，

∴∠MAE=∠6+∠1=90°，

在Rt△MAE中，AE2+AM2=EM2，

∴AE2+FC2=EF2；

（2）

解：AF2+EC2=EF2；理由如下：

過B作MB⊥BF，使BM=BF，連接ME、MF、AM，

如圖3所示：

同（1）得：△MBF≌△EBF，

∴MF=EF，同（1）得：△AMB≌△CBE（SAS），

∴AM=EC，∠BAM=∠BCE=45°，

∴∠MAE=∠BAM+∠BAC=90°，

∴∠MAF=90°，

在Rt△MAF中，AF2+AM2=MF2，

∴AF2+EC2=EF2．

【解析】（1）①根據題意補全圖形即可；②過B作MB⊥BF，使BM=BF，連接AM、EM，由正方形的性質得出∠ABC=90°，∠1=∠2=45°，AB=BC，由SAS證明△MBE≌△FBE，得出EM=EF，證出∠4=∠5，由SAS證明△AMB≌△CFB，得出AM=FC，∠6=∠2=45°，證出∠MAE=∠6+∠1=90°，在Rt△MAE中，由勾股定理即可得出結論；（2）過B作MB⊥BF，使BM=BF，連接ME、MF、AM，同（1）得：△MBF≌△EBF，得出MF=EF，同（1）得：△AMB≌△CBE，得出AM=EC，∠BAM=∠BCE=45°，證出∠MAE=∠BAM+∠BAC=90°，得出∠MAF=90°，在Rt△MAF中，由勾股定理即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解全等三角形的性質的相關知識，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等．