Question

（2005•杭州）如圖，在△ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．現有動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動；動點Q從點C出發，沿線段CB向點B運動，如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發，運動時間為t秒，求：
（1）當t為何值時，△PBQ的面積是△ABC的面積的一半；
（2）在第（1）問的前提下，P，Q兩點之間的距離是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線，分別過C，Q作CG⊥AB，QH⊥AB于G，H，在Rt△BCG中，已知BC，∠B的值，可求出CG的值，代入S_△ABC進行求解，根據AP和CQ的值，可將BP，BQ的值表示出來，在Rt△BQH中，根據三角函數可將QH的值求出，代入S_△PBQ=BP•QH，再根據S_△PBQ與S_△ABC的關系，從而可求出時間t；
（2）當t=2時，可將BP，BQ的值求出，在Rt△BHQ中，根據三角函數可將BH，HQ的值求出，進而可將PH的值求出，在Rt△PQH中，根據勾股定理可求出PQ的值，當t=12時，同理可將PQ的值求出．
解答：解：（1）分別過C，Q作CG⊥AB，QH⊥AB于G，H，
∵BC=16，∠B=60°，
∴CG=BC•sin60°=，
又∵AB=24，
∴S_△ABC=AB•CG=96，
又∵AP=4t，CQ=2t，
∴BP=24-4t，BQ=16-2t（0＜t＜8），
∴QH=BQ•sin60°=（8-t），
∴S_△PBQ=BP•QH=×（24-4t）×（8-t），
又∵S_△PBQ=S_△ABC，
∴×（24-4t）×（8-t）=×96，
∴t²-14t+24=0，
∴t₁=2，t₂=12（舍去），
∴當t為2秒時，△PBQ的面積是△ABC的面積的一半．

（2）當t=2時，HQ=6，BQ=12，BP=16，
∴BH=BQ=6，PH=16-6=10，
又∵在Rt△PQH中，PQ²=HQ²+PH²，
∴PQ=．
點評：考查綜合應用解直角三角形、直角三角形性質，進行邏輯推理能力和運算能力，在求P、Q兩點之間的距離時應分兩種情況討論．