Question

已知拋物線y=-ax²+2ax+b與x軸的一個交點為A（-1，0），與y軸的正半軸交于點C．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）當點C在以AB為直徑的⊙P上時，求拋物線的解析式；
（3）坐標平面內是否存在點M，使得以點M和（2）中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=-ax²+2ax+b的對稱軸，可以根據公式直接求出，拋物線與x軸的另一交點與A關于對稱軸對稱，因而交點就可以求出．
（2）AB的長度可以求出，連接PC，在直角三角形OCP中，根據勾股定理就可以求出C點的坐標，把這點的坐標代入拋物線的解析式，就可以求出解析式．
（3）本題應分AC或BC為對角線和以AB為對角線三種情況進行討論，當以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CM∥AB，且CM=AB．就可以求出點M的坐標．當以AB為對角線時，點M在x軸下方易證△AOC≌△BNM，可以求出點M的坐標．

解答：解：（1）對稱軸是直線：x=1，點B的坐標是（3，0）．（2分）
說明：每寫對1個給（1分），“直線”兩字沒寫不扣分．

（2）如圖，連接PC，
∵點A、B的坐標分別是A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=4．
∴PC=

1

2

AB=

1

2

×4=2
在Rt△POC中，
∵OP=PA-OA=2-1=1，
∴OC=

PC2-PO2

=

3

，
∴b=

3

（3分）
當x=-1，y=0時，-a-2a+

3

=0
∴a=

3

3

（4分）
∴y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

．（5分）

（3）存在．（6分）理由：如圖，連接AC、BC．
設點M的坐標為M（x，y）．
①當以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CM∥AB，且CM=AB．
由（2）知，AB=4，
∴|x|=4，y=OC=

3

．
∴x=±4．
∴點M的坐標為M（4，

3

）或（-4，

3

）．（9分）
說明：少求一個點的坐標扣（1分）．
②當以AB為對角線時，點M在x軸下方．
過M作MN⊥AB于N，則∠MNB=∠AOC=90度．
∵四邊形AMBC是平行四邊形，
∴AC=MB，且AC∥MB．
∴∠CAO=∠MBN．
∴△AOC≌△BNM．
∴BN=AO=1，MN=CO=

3

．
∵OB=3，
∴0N=3-1=2．
∴點M的坐標為M（2，-

3

）．（12分）
綜上所述，坐標平面內存在點M，使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形．
其坐標為M₁（4，

3

），M₂（-4，

3

），M₃（2，-

3

）．
說明：①綜上所述不寫不扣分；②如果開頭“存在”二字沒寫，但最后解答全部正確，不扣分

點評：本題主要考查了拋物線的軸對稱性，是與勾股定理相結合的題目．難度較大．