Question

（2009•樂山）如圖，在平面直角坐標系中，開口向上的拋物線與x軸交于A、B兩點，D為拋物線的頂點，O為坐標原點．若OA、OB（OA＜OB）的長分別是方程x²-4x+3=0的兩根，且∠DAB=45°．
（1）求拋物線對應的二次函數解析式；
（2）過點A作AC⊥AD交拋物線于點C，求點C的坐標；
（3）在（2）的條件下，過點A任作直線l交線段CD于點P，若點C、D到直線l的距離分別記為d₁、d₂，試求的d₁+d₂的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過解方程即可求得OA、OB的長，從而得到點A、B的坐標，由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，且∠DAB=45°，那么△DAB是等腰直角三角形，即可利用點A、B的坐標求得點D的坐標，然后根據待定系數法求得拋物線的解析式；
（2）由于AC⊥AD，且∠DAB=45°，則∠CAB=45°，設出點C的橫坐標，那么其縱坐標應為m+1，然后將C點坐標代入拋物線的解析式中，即可求得點C的坐標；
（3）易得AC、AD的長，由于△ACD是直角三角形，那么AC•AD=AP•d₁+AP•d₂，由此可得d₁+d₂=，過A作AM⊥CD于M，利用△ACD的面積可求得AM的長，在Rt△APM中，AP≥AM，故d₁+d₂≤，而AC、AD、AM的長都已求得，由此可確定d₁+d₂的最大值．
解答：解：（1）解方程x²-4x+3=0得：
x=1或x=3，而OA＜OB，
則點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（3，0）；（1分）
∵A、B關于拋物線對稱軸對稱，
∴△DAB是等腰三角形，而∠DAB=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，得D（1，-2）；
令拋物線對應的二次函數解析式為y=a（x-1）²-2，
∵拋物線過點A（-1，0），
∴0=4a-2，得a=，
故拋物線對應的二次函數解析式為y=（x-1）²-2（或寫成y=x²-x-）；（4分）

（2）∵CA⊥AD，∠DAC=90°，（5分）
又∵∠DAB=45°，
∴∠CAB=45°；
令點C的坐標為（m，n），則有m+1=n，（6分）
∵點C在拋物線上，
∴n=（m-1）²-2；（7分）
化簡得m²-4m-5=0
解得m=5，m=-1（舍去），
故點C的坐標為（5，6）；（8分）

（3）由（2）知AC=6，而AD=2，
∴DC=；
過A作AM⊥CD，
又∵，
∴AM=，（9分）
又∵S_△ADC=S_△APD+S_△APC
∴，（11分）
d₁+d₂=；
即此時d₁+d₂的最大值為4．（12分）
點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質、二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法、三角形面積的計算方法以及不等式的應用等重要知識，涉及知識面廣，難度較大．