Question

（2012•天橋區三模）（1）已知：如圖1，?ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求證：BE=DF．
（2）某居民小區一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，如圖2是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑．

Answer 1

分析：（1）先根據平行四邊形的性質得出AB=CD，AB∥CD，由全等三角形的判定定理得出△ABE≌△CDF，由全等三角形的性質即可得出結論；
（2）假設O為圓形截面所在圓的圓心，過O作OC⊥AB于D，交AB于C，先由垂徑定理得出BD的長，故可得出CD的長，設半徑為xcm，則OD=（x-4）cm．在Rt△BOD中，由勾股定理即可求出x的值，進而得出結論．

解答：（1）證明：∵ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°
∴∠BAE=∠BCF，
在△ABE與△CDF中，
∵

∠BAE=∠DCF AB=CD ∠ABE=∠CDE

，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF；

（2）解：假設O為圓形截面所在圓的圓心，過O作OC⊥AB于D，交AB于C，
∵OC⊥AB，
∴BD=

1

2

AB=

1

2

×16=8cm，
由題意可知，CD=4cm．
設半徑為xcm，則OD=（x-4）cm．
在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD²+BD²=OB²
∴（x-4）²+8²=x²．
∴x=10．即這個圓形截面的半徑為10cm．

點評：本題考查的是垂徑定理、勾股定理及平行四邊形的性質，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．