Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，直線CD交BA的延長線于點C，BF⊥直線CD，垂足為F，且∠CBD=∠DBF．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若CD=6，CA：CB=1：3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OD，證明OD⊥DF即可，根據直角三角形的兩銳角互余即可證得；
（2）根據切割線定理，即可求得AB的長，進而求得半徑的長．

解答：（1）證明：連接OD．
在直角△BDF中，∠DBF+∠BDF=90°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠CBD，
又∵∠CBD=∠DBF，
∴∠ODB+∠BDF=90°，
即∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∴CF是⊙O的切線；

（2）設CA=x，則CB=3x．
∵CD是圓的切線．
∴CD²=CA•CB，
即：36=3x²
∴x=2

3

，
∴AB=CB-CA=2x=4

3

．
∴圓的半徑是：2

3

．

點評：本題主要考查了切線的判定定理以及切割線定理，正確證明切線是解題的關鍵．