Question

（2012•營口）如圖，直線y=-

4

3

x+8分別交x軸、y軸于A、B兩點，線段AB的垂直平分線分別交x軸、y軸于C、D兩點．
（1）求點C的坐標；
（2）求△BCD的面積．

Answer 1

分析：（1）由直線y=-

4

3

x+8，分別交x軸、y軸于A、B兩點，即可求得點A與B的坐標，即可得OA，OB，由勾股定理即可求得AB的長，由CD是線段AB的垂直平分線，可求得AE與BE的長，易證得△AOB∽△AEC，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得AC的長，繼而求得點C的坐標；
（2）易證得△AOB∽△DEB，由相似三角形的對應邊成比例，即可求得BD的長，又由S_△BCD=

1

2

BD•OC，即可求得△BCD的面積．

解答：解：（1）∵直線y=-

4

3

x+8，分別交x軸、y軸于A、B兩點，
當x=0時，y=8；當y=0時，x=6．
∴OA=6，OB=8．
在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=10，
∵CD是線段AB的垂直平分線，
∴AE=BE=5．
∵∠OAB=∠CAE，∠AOB=∠AEC=90°，
∴△AOB∽△AEC，
∴

OA

AE

=

AB

AC

，
即

6

5

=

10

AC

，
∴AC=

25

3

．
∴OC=AC-OA=

7

3

，
∴點C的坐標為（-

7

3

，0）；

（2）∵∠ABO=∠DBE，∠AOB=∠BED=90°，
∴△AOB∽△DEB，
∴

OB

BE

=

AB

BD

，
即

8

5

=

10

BD

，
∴BD=

25

4

，
∴S_△BCD=

1

2

BD•OC=

1

2

×

25

4

×

7

3

=

175

24

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、點與一次函數的性質、勾股定理以及線段垂直平分線的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用．