Question

在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
（1）如圖1，點D、E分別是AB、AC邊的中點，AF⊥BE交BC于點F，連結EF、CD交于點H.求證，EF⊥CD；
（2）如圖2，AD=AE，AF⊥BE于點G交BC于點F，過F作FP⊥CD交BE的延長線于點P，試探究線段BP,FP,AF之間的數量關系，并說明理由.

圖1                       圖2

Answer 1

（1）證明見解析；（2）BP=AF+FP，理由見解析.

試題分析：（1）過點C作CM⊥AC交AF延長線于點M，通過證明△ABE≌△CAM和△ABE≌△ACD得到∠EHC=90°，即可證明.
（2）過點C作CM⊥AC交AF延長線于點M，由（1）△ABE≌△CAM和△ABE≌△ACD，通過角的等量代換即可得到△QCF≌△MCF，從而得到BP=BE+PE=AM+PQ=（AF+FM）+PQ=AF+FQ+PQ=AF+FP.
（1）如圖，過點C作CM⊥AC交AF延長線于點M，
∵∠BAC=90°，AF⊥BE于G，∴∠1+∠5=∠2+∠5="90°" .∴∠1=∠2.
又∵∠BAC=∠ACM=90°，AB=AC，∴△ABE≌△CAM. ∴AE=CM，∠5=∠M.
∵AE=EC，∴EC=CM.
∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°.
∵∠ACM=90°，∴∠4==∠ACF.
∴△ECF≌△MCF.∴∠6=∠M. ∴∠6=∠5.
∵AB=AC，點D、E分別是AB、AC邊的中點，∴AD=AE.
又∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD.∴∠1=∠3. ∴∠3+∠6=90°.
∴∠EHC=90°.∴EF⊥CD.

（2）如圖，過點C作CM⊥AC交AF延長線于點M，
由（1）得：△ABE≌△CAM，∴AE=CM，∠5=∠M，BE=AM.
由（1）得：△ABE≌△ACD，∴∠1=∠3.
∵FP⊥CD于H，∠BAC=90°，∴∠3+∠6=∠1+∠5. ∴∠6=∠5.
∵∠6=∠8，∠7=∠5，∴∠7=∠8. ∴EP=QP.
∵∠6=∠5，∠5=∠M，∴∠6=∠M.
∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°.
∵∠ACM=90°，∴∠4==∠ACF. ∴△QCF≌△MCF.
∴FQ=FM.
∴BP=BE+PE=AM+PQ=（AF+FM）+PQ=AF+FQ+PQ=AF+FP.