Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數y=（m為常數，m＞1，x＞0）的圖象經過點P（m，1）和Q（1，m），直線PQ與x軸，y軸分別交于C，D兩點，點M（x，y）是該函數圖象上的一個動點，過點M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為A，B．

（1）求∠OCD的度數；

（2）當m=3，1＜x＜3時，存在點M使得△OPM∽△OCP，求此時點M的坐標；

（3）當m=5時，矩形OAMB與△OPQ的重疊部分的面積能否等于4.1？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）∠OCD=45°；（2）M（2，）；（3）不存在．理由見解析.

【解析】（1）想辦法證明OC=OD即可解決問題；

（2）設M（a，），由△OPM∽△OCP，推出，由此構建方程求出a，再分類求解即可解決問題；

（3）不存在分三種情形說明：①當1＜x＜5時，如圖1中；②當x≤1時，如圖2中；③當x≥5時，如圖3中.

（1）設直線PQ的解析式為y=kx+b，則有 ，

解得，

∴y=-x+m+1，

令x=0，得到y=m+1，∴D（0，m+1），

令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0），

∴OC=OD，

∵∠COD=90°，

∴∠OCD=45°．

（2）設M（a，），

∵△OPM∽△OCP，

∴，

∴OP2=OCOM，

當m=3時，P（3，1），C（4，0），

OP2=32+12=10，OC=4，OM=，

∴，

∴10=4，

∴4a4-25a2+36=0，

（4a2-9）（a2-4）=0，

∴a=±，a=±2，

∵1＜a＜3，

∴a=或2，

當a=時，M（，2），

PM=，CP=，

，（舍去）

當a=2時，M（2，），PM=，CP=，

∴，成立，

∴M（2，）．

（3）不存在．理由如下：

當m=5時，P（5，1），Q（1，5），設M（x，），

OP的解析式為：y=x，OQ的解析式為y=5x，

①當1＜x＜5時，如圖1中，

∴E（，），F（x，x），

S=S矩形OAMB-S△OAF-S△OBE

=5-xx-=4.1，

化簡得到：x4-9x2+25=0，

△＜O，

∴沒有實數根．

②當x≤1時，如圖2中，

S=S△OGH＜S△OAM=2.5，

∴不存在，

③當x≥5時，如圖3中，

S=S△OTS＜S△OBM=2.5，

∴不存在，

綜上所述，不存在．