Question

【題目】如圖，在中，，是邊上一點(diǎn)，，，垂足分別是、，．

求證：；

若，求證：四邊形是正方形．

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=，根據(jù)AB=AC，得到AE=AF，利用HL定理證明；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BC=2BD，得到BD=AD，根據(jù)正方形的判定定理即可證明．

（1）∵△AEF∽△ABC，∴=．

∵AB=AC，∴AE=AF．

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．在Rt△AED和Rt△AFD中，∵，∴Rt△AED≌Rt△AFD；

（2）∵Rt△AED≌Rt△AFD，∴∠EAD=∠FAD．

∵AB=AC，∴AD⊥BC，BC=2BD．

∵BC=2AD，∴BD=AD．

∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠B=∠BAD=45°，∴∠BAC=2∠BAD=90°．

∵∠AED=∠AFD=90°，∴四邊形AEDF是矩形．

∵AE=AF，∴矩形AEDF是正方形．