Question

【題目】如圖，△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接BE，則BE的最小值是（ ）

A.-1B.C.D.2

Answer 1

【答案】A

【解析】

過(guò)點(diǎn)C作CK⊥AB于點(diǎn)K，將線段CK繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° 得到CH，連接HE,延長(zhǎng)HE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J；通過(guò)證明△CKD≌△CHE (ASA)，進(jìn)而證明所構(gòu)建的四邊形CKJH是正方形，所以當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)J重合時(shí)，BE的值最小，再通過(guò)在Rt△CBK中已知的邊角條件，即可求出答案.

如圖,過(guò)點(diǎn)C作CK⊥AB于點(diǎn)K，將線段CK繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° 得到CH，連接HE,延長(zhǎng)HE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J；

∵將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° ,得到線段CE

∴∠DCE=∠KCH = 90°

∵∠ECH=∠KCH - ∠KCE，∠DCK =∠DCE-∠KCE

∴∠ECH =∠DCK

又∵CD= CE，CK = CH

∴在△CKD和△CHE中

∴△CKD≌△CHE (ASA)

∴∠CKD=∠H=90°，CH=CK

∴∠CKJ =∠KCH =∠H=90°

∴四邊形CKJH是正方形

∴CH=HJ=KJ=C'K

∴點(diǎn)E在直線HJ上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)J重合時(shí)，BE的值最小

∵∠A= 30°

∴∠ABC=60°

在Rt△CBK中， BC= 2,

∴CK = BCsin60°=，BK=BCcos60° = 1

∴KJ = CK =

所以BJ = KJ-BK=；

BE的最小值為.

故選A.