Question

如圖所示，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上點A處有一個水聲監測點，另兩個監測點B，C分別在A的正東方20 km處和54 km處，某時刻，監測點B收到發自靜止目標P的一個聲波，8s后監測點A，20 s后監測點C相繼收到這一信號，在當時氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s．
（1）設A到P的距離為xkm，用x表示B，C到P的距離，并求x值；
（2）求靜止目標P到海防警戒線a的距離（結果精確到0.01 km）．

Answer 1

分析：（1）由于三角形不一定為直角三角形，所以選擇在兩個三角形中用余弦定理來建立等式解答；
（2）作PD⊥a，構造直角三角形，利用解直角三角形的知識解答．

解答：解：（1）∵PA-PB=1.5×8=12（km），PC-PB=1.5×20=30（km）
∴PB=（x-12）km，PC=（18+x）km
在△PAB中，AB=20 km，cos∠PAB=

PA2+AB2-PB2

2PA•AB

=cos∠

x2+202-(x-12)2

2x•20

=

3x+32

5x

同理，在△PAC中，cos∠PAC=

72-x

3x

∵cos∠PAB=cos∠PAC
∴

3x+32

5x

=

72-x

3x

∴x=

132

7

（km）；

（2）作PD⊥a，垂足為D
在Rt△PDA中，PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB=x•

3x+32

5x

=

3× 132 7 +32

5

≈17.71（km）
答：靜止目標P到海防警戒線a的距離約為17.71 km．

點評：解答此題，在非直角三角形中可以選擇用余弦定理解答．勾股定理可以認為是當夾角為90°時的余弦定理．