Question

【題目】已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D為射線CB上一點（不與C、B重合），點E為射線CA上一點，∠ADE=∠AED．設∠BAD=α，∠CDE=β．

（1）如圖（1），

①若∠BAC=40°，∠DAE=30°，則α=　 　，β=　 　．

②寫出α與β的數量關系，并說明理由；

（2）如圖（2），當D點在BC邊上，E點在CA的延長線上時，其它條件不變，寫出α與β的數量關系，并說明理由．

（3）如圖（3），D在CB的延長線上，根據已知補全圖形，并直接寫出α與β的關系式．

Answer 1

【答案】(1)10°，5°α=2β(2)2β-α=180° (3)2β+α=180°

【解析】

（1）①根據等腰三角形的性質，利用三角形內角和定理與三角形外角的性質，利用等量代換即可求解；②同樣根據等腰三角形的性質，利用三角形內角和定理與三角形外角的性質，利用等量代換即可求解；（2）設∠BAC=x°，∠DAE=y°，則∠CAD=180°-y°，根據三角形內角和定理與三角形外角的性質得到α=x°-（180°-y°）=x°-180°-y°，由三角形的內角和得到∠C=，∠AED=，通過整理化簡即可得到結論；（3）根據題意作出圖形，解法和（2）一致.

（1）①α=∠BAC-∠DAE=40°-30°=10°，

∠AED=（180°-30°）÷2=75°，

∠C=（180°-40°）÷2=70°，

β=∠AED-∠C=5°

②α=2β

設∠BAC=x°，∠DAE=y°，則α=x°-y°，

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠C=，

∵∠ADE=∠AED，

∴∠AED=

∴β=-=

∴α=2β

（2）2β-α=180°

設∠BAC=x°，∠DAE=y°，

則∠CAD=180°-y°

∴α=x°-（180°-y°）= x°-180°+y°

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠C=，

∵∠ADE=∠AED，

∴∠AED=

∴β=180°--=

∴2β-α=180°

（3）2β+α=180°

如圖3，設∠BAC=x°，∠DAE=y°，

則∠CAD=180°-y°

∴α=180°-x°-y°

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠C=，

∵∠ADE=∠AED，

∴∠AED=

∴β=180°--=

∴2β+α=180°