Question

【題目】如圖1，兩個等腰，有公共頂點，，與在同一直線上，連接，是的中點，連接、，延長，交于．

（1）求證：；

（2）將圖1中的繞點順時針旋轉，連接，是的中點，連接、、，延長交于，連接，如圖2，求證：．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析．

【解析】

（1）如圖，延長AB交CF于點G，證明BM為△AGF的中位線即可；

（2）延長AB交CE于點D，連接DF，易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，再說明BM為△A GF的中位線，得到BM=DF；同理可得ME=AG；然后再證明△ACG≌△DCF（SAS），通過全等三角形的性質可得DF=AG,進而得到BM=ME．

解：（1）如圖：延長AB交CF于點G，

由題意可得：△ABC與△ BCG均為等腰直角三角形

∴AB=BC=BG

∴點B為線段AG的中點，

又∵點M為線段AF的中點，

∴BM為△AGF的中位線，

∴ BM//CF．

(2)如圖，延長AB交CE于點D，連接DF，易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，

∴點B為AD中點，

又∵點M為AF中點，

∴BM=DF

同理：ME=AG

在△ACG與△DCF中，

AC=CD，∠ACG=∠DCF=45°，CG=CF

.∴△ACG≌△DCF（SAS），

∴DF=AG，

∴BM=ME．