Question

已知二次函數的圖像經過點A（6,0）、B（-2,0）和點C（0，-8）
（1）求該二次函數的解析式；
（2）設該二次函數圖象的頂點為M，若點K為x軸上的動點，當△KCM的周長最小時，求K的坐標；
（3）連接AC，有兩動點P、Q同時從點O出發，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線按O-A-C的路線運動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線按O-C-A的路線運動，當P、Q兩點相遇時它們都停止運動，設P、Q同時從點O出發t秒時，△OPQ的面積為S；
①請問P、Q兩點在運動過程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
② 請求出S關于t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；

備用圖

 

Answer 1

（1）二次函數的解析式為y= x²﹣x﹣8；
（2）點K的坐標為（，0）；
(3) ①不存在PQ∥OC，理由見解析；
②分情況討論如下，
當0≤t≤1時，S=12t²；
當1＜t≤2時，S=﹣+；
當2＜t＜時，S=-.

解析試題分析：（1）由待定系數法即可得到；
由于CM的長度是定值，因此要想△KCM的周長最小，只需KM+KC的值最小即可，因此要找到點C關于X軸的對稱點C‘，連接MC’，則MC‘與X軸的交點即為所求；
①可假設PQ∥OC，此時，1＜t ＜2，則可得△APQ∽△AOC，由相似推得t=與1＜t ＜2矛盾，從而確定不存在PQ∥OC
②分0≤t≤1、1＜t≤2、2＜t＜三種情況進行求解.
試題解析：（1）設二次函數的解析式為y=a（x+2）（x﹣6）（a≠0），
∵圖象過點（0，﹣8），
∴a=.
∴二次函數的解析式為y= x²﹣x﹣8；
（2）∵y = x²﹣ x﹣8=（x²﹣4x+4﹣4）﹣8=（x﹣2）²﹣,
∴點M的坐標為（2，﹣）.
∵點C的坐標為（0，﹣8），
∴點C關于x軸對稱的點C′的坐標為（0，8）.
∴直線C′M的解析式為：y=﹣ x+8
令y=0
得﹣x+8=0
解得：x=
∴點K的坐標為（，0）；
(3) ①不存在PQ∥OC，
若PQ∥OC，則點P，Q分別在線段OA，CA上，
此時，1＜t ＜2
∵PQ∥OC，
∴△APQ∽△AOC
∴
∵AP=6﹣3t
AQ=18﹣8t，
∴
∴t=
∵t=＞2不滿足1＜t＜2；
∴不存在PQ∥OC；
②分情況討論如下，
當0≤t≤1時
S=OP•OQ=×3t×8t=12t²；
當1＜t≤2時
作QE⊥OA，垂足為E，
S=OP•EQ=×3t×=﹣+
當2＜t＜時
作OF⊥AC，垂足為F，則OF=
S=QP•OF=×（24﹣11t）×=-.

考點：1、待定系數法；2、反證法；3、線段的性質；4、分類討論.