Question

如圖1，兩半徑為r的等圓⊙O₁和⊙O₂相交于M，N兩點，且⊙O₂過點O₁．過M點作直線AB垂直于MN，分別交⊙O₁和⊙O₂于A，B兩點，連接NA，NB．
（1）猜想點O₂與⊙O₁有什么位置關系，并給出證明；
（2）猜想△NAB的形狀，并給出證明；
（3）如圖2，若過M的點所在的直線AB不垂直于MN，且點A，B在點M的兩側，那么（2）中的結論是否成立，若成立請給出證明．

Answer 1

解：（1）O₂在⊙O₁上，
證明：∵⊙O₂過點O₁，
∴O₁O₂=r，
又∵⊙O₁的半徑也是r，
∴點O₂在⊙O₁上；

（2）△NAB是等邊三角形，
證明：∵MN⊥AB，
∴∠NMB=∠NMA=90度，
∴BN是⊙O₂的直徑，AN是⊙O₁的直徑，
即BN=AN=2r，O₂在BN上，O₁在AN上．
連接O₁O₂，則O₁O₂是△ABN的中位線．
∴AB=2O₁O₂=2r，
∴AB=BN=AN，則△NAB是等邊三角形．

（3）仍然成立．
證明：由（2）得在⊙O₁中所對的圓周角為60度，
在⊙O₂中所對的圓周角為60度，
∴當點A，B在點M的兩側時，
在⊙O₁中所對的圓周角∠MAN=60°，
在⊙O₂中所對的圓周角∠MBN=60°，
∴△NAB是等邊三角形．
（2），（3）是中學生猜想為等腰三角形證明正確給一半分．
分析：（1）通過證明圓心距等于半徑得出點O₂在⊙O₁上；
（2）通過證明AB=BN=AN，從而得到△NAB是等邊三角形；
（3）根據在同圓中等弧所對的圓周角相等，可求出∠MAN=60°，∠MBN=60度．從而求證得△NAB是等邊三角形．
點評：本題考查了由兩圓相交的位置關系中的特殊情況．當兩圓是等圓時會產生一些特殊的情況，比如相等的線段和相等的角．利用這些等量關系求解即可．