Question

（2008•宜昌）如圖1，已知四邊形OABC中的三個頂點坐標為O（0，0），A（0，n），C（m，0）．動點P從點O出發依次沿線段OA，AB，BC向點C移動，設移動路程為z，△OPC的面積S隨著z的變化而變化的圖象如圖2所示．m，n是常數，m＞1，n＞0．
（1）請你確定n的值和點B的坐標；
（2）當動點P是經過點O，C的拋物線y=ax²+bx+c的頂點，且在雙曲線y=上時，求這時四邊形OABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要根據圖2的分段函數進行求解．當0＜z≤2時，P在OA上運動，因此S=OC•z=mz．當2＜z≤3時，P在AB上運動，因此S=OC•OA=mn．由此可得出當P從A運動到B時，S=mn=m，因此n=2．而z的值是由2逐漸增大到3因此AB=1，因此B點的坐標應該是（1，2）．
（2）求四邊形OABC的面積，關鍵是確定m的值．（由于P不可能與O，D重合）可分三種情況進行討論：
①當P在OA上時，此時P，O，C不可能構成拋物線．因此這種情況不成立．
②當P在AB上時，可先根據O，C的坐標來列出拋物線的解析式．此時P的縱坐標為2，然后可根據拋物線的解析式表示出P的橫坐標，然后將得出的P的坐標代入雙曲線中即可得出m的值．
③當P在BC上時，也要先得出P點的縱坐標，具體思路是過B，P作x軸的垂線，通過相似三角形來求出P點的縱坐標，然后按①的方法求出m的值．
綜合上述的情況即可得出m的值，也就能確定OC的長，即可求出梯形OABC的面積．
解答：解：（1）從圖1中可知，當P從O向A運動時，△POC的面積S=mz，z由0逐步增大到2，則S由0逐步增大到m，
故OA=2，n=2．
同理，AB=1，故點B的坐標是（1，2）．

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c經過點O（0，0），C（m，0）
∴c=0，b=-am，
∴拋物線為y=ax²-amx，頂點坐標P為（，-am²）．
∵m＞1，
∴＞0，且≠m，
∴P不在邊OA上且不與C重合．
∵P在雙曲線y=上，
∴×（-am²）==-．
①當1＜m≤2時，＜≤1，如圖2，分別過B，P作x軸的垂線，
M，N為垂足，此時點P在線段AB上，且縱坐標為2，
∴-am²=2，即a=-．
又∵a=-，
∴-=-，m=＞2，而1＜m≤2，不合題意，舍去．
②當m≥2時，＞1，如圖3，分別過B，P作x軸的垂線，M，N為垂足，ON＞OM，
此時點P在線段CB上，易證Rt△BMC∽Rt△PNC，
∴BM：PN=MC：NC，即2：PN=（m-1）：，
∴PN=
而P的縱坐標為-am²，
∴=-am²，即a=．
而a=-，
∴-=化簡得：5m²-22m+22=0．
解得：m=，
但m≥2，所以m=舍去，
取m=．
由以上，這時四邊形OABC的面積為：
（AB+OC）×OA=（1+m）×2=．
點評：本題著重考查了二次函數以及反比例函數的相關知識、三角形相似等知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．