Question

【題目】如圖，頂點(diǎn)為A（ ，1）的拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，與x軸交于點(diǎn)B．

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）過B作OA的平行線交y軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D，求證：△OCD≌△OAB；
（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使得△PCD的周長最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

∵拋物線頂點(diǎn)為A（ ，1），

設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣ ）2+1，

將原點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）在拋物線上，

∴0=a（ ）2+1

∴a=﹣ ．

∴拋物線的表達(dá)式為：y=﹣ x2+ x．

（2）

令y=0，得 0=﹣ x2+ x，

∴x=0（舍），或x=2

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（2 ，0），

設(shè)直線OA的表達(dá)式為y=kx，

∵A（ ，1）在直線OA上，

∴ k=1，

∴k= ，

∴直線OA對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y= x．

∵BD∥AO，

設(shè)直線BD對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y= x+b，

∵B（2 ，0）在直線BD上，

∴0= ×2 +b，

∴b=﹣2，

∴直線BD的表達(dá)式為y= x﹣2．

由

得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣ ，3），

令x=0得，y=﹣2，

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣2），

由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD，OB=2 =OD．

在△OAB與△OCD中，

，

∴△OAB≌△OCD．

（3）

點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（0，2），

∴C'D與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，它使得△PCD的周長最小．

過點(diǎn)D作DQ⊥y，垂足為Q，

∴PO∥DQ．

∴△C'PO∽△C'DQ．

∴ ，

∴ ，

∴PO= ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ，0）．

【解析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，（2）先求出直線OA對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y= x．再求出直線BD的表達(dá)式為y= x﹣2．最后求出交點(diǎn)坐標(biāo)C，D即可；（3）先判斷出C'D與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，它使得△PCD的周長最小．作輔助線判斷出△C'PO∽△C'DQ即可．此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和全等，解本題的關(guān)鍵是確定函數(shù)解析式．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．