Question

【題目】如圖，直線m⊥n，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點A、點B分別是m、n上兩個動點，直角邊AC交直線n于點D，斜邊BC交直線m于點E．

（1）如圖（1）求證：∠DAO＝∠ABO；

（2）如圖（2），當等腰Rt△ABC運動到使點D恰為AC中點時，連接DE，求證：∠ADB＝∠CDE；

（3）如圖（3），分別以OB、AB為直角邊作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，連結CD交直線n于點P，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據題意可得∠ABO+∠BAO＝90°，∠DAO+∠BAO＝90°，利用同角的余角相等可得結論；

（2）作CG⊥AC交m與點G，首先利用ASA證明△ADB≌△CGA，可得AD=CG，進而得到CG=CD，然后證明△DCE≌△GCE，可得∠CDE=∠CGE，等量代換即可得到結論；

（3）作CF⊥n于點F，根據“一線三等角”模型易證△ABO≌△BCF，可得OB=FC，AO=BF，然后結合△BOD是等腰直角三角形證明△DBP≌△CFP，得到BP=FP，最后利用三角形面積公式計算化簡即可.

解：（1）∵直線m⊥n，

∴∠AOD＝∠AOB＝90°，

∴∠ABO+∠BAO＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠DAO+∠BAO＝90°，

∴∠DAO＝∠ABO；

（2）作CG⊥AC交m與點G，則∠ACG＝90°，

在△ADB和△CGA中，，

∴△ADB≌△CGA（ASA），

∴AD=CG，

∵AD=CD，

∴CG=CD，

∵∠ACB=45°，

∴∠GCE=45°，

∴∠ACB=∠GCE，

又∵CE=CE，

∴△DCE≌△GCE（SAS），

∴∠CDE=∠CGE，

∵△ADB≌△CGA，

∵∠CGE=∠ADB，

∴∠ADB＝∠CDE；

（3）作CF⊥n于點F，則∠CFB=90°，

∴∠CBF+∠BCF=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=90°，AB=BC，

∴∠ABO+∠CBF=90°，

∴∠BCF=∠ABO，

在△ABO和△BCF中，，

∴△ABO≌△BCF（AAS），

∴OB=FC，AO=BF，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴OB=BD，∠OBD=∠DBP=90°，

∴BD=FC，

在△DBP和△CFP中，，

∴△DBP≌△CFP（AAS），

∴BP=FP，

∴.