Question

已知雙曲線y=

k

x

（k＞0），過點M（m，m）（m＞

k

）作MA⊥x軸，MB⊥y軸，垂足分別是A和B，MA、MB分別交雙曲線y=

k

x

（k＞0）于點E、F．
（1）若k=2，m=3，求直線EF的解析式；
（2）O為坐標原點，連接OF，若∠BOF=22.5°，多邊形BOAEF的面積是2，求k值．

Answer 1

分析：（1）將k的值代入確定出反比例解析式，將m的值代入確定出M坐標，根據圖形得到E的橫坐標與F的縱坐標都為3，代入反比例解析式中確定出E與F坐標，設直線EF解析式為y=kx+b，將E與F坐標代入求出k與b的值，即可確定出直線EF的解析式；
（2）連接EF，OM，OE，由M橫縱坐標相等得到四邊形AOBM為正方形，由正方形的性質及∠BOF=22.5°，得到三角形BOF、三角形FCO、三角形ECO及三角形AOE全等，三角形BOF的面積等于|k|的一半，表示出四個面積之和，即為五邊形BOAEF的面積，根據五邊形的面積為2列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：（1）將k=2，m=3代入得：反比例解析式為y=

2

x

，M（3，3），
∵MA⊥x軸，MB⊥y軸，
∴E的橫坐標為3，F縱坐標為3，
代入反比例解析式得：E（3，

2

3

），F（

2

3

，3），
設直線EF解析式為y=kx+b，
將E與F坐標代入得：

2 3 k+b=3 3k+b= 2 3

，
解得：

k=-1 b= 11 3

，
則直線EF解析式為y=-x+

11

3

；
（2）連接OM，EF，OE，OM與EF交于點C，
∵M（m，m），反比例解析式為y=

k

x

，
∴E（m，

k

m

），F（

k

m

，m），即E與F關于y=x對稱，四邊形AOBM為正方形，
∵∠BOF=22.5°，
∴∠BOF=∠COF=∠EOC=∠AOE=22.5°，
由對稱性得到∠FCO=∠ECO=90°，
在△BOF和△AOE中，

∠OBF=∠OAE=90° OB=OA=m ∠BOF=∠AOE

，
∴△BOF≌△AOE（ASA），
同理△BOF≌△COF，△COF≌△AOE，
∴BF=AE=

k

m

，
又BM=AM=m，
∴S_△BOF=

1

2

m•

k

m

=

1

2

k，
∴S_{五邊形BOAEF}=4S_△BOF=2k=2，
則k=1．

點評：此題考查了反比例函數綜合題，涉及的知識有：正方形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，反比例函數k的幾何意義，坐標與圖形性質，以及待定系數法求一次函數解析式，靈活運用待定系數法是解本題第一問的關鍵．