Question

已知A、D是一段圓弧上的兩點，且在直線l的同側，分別過這兩點作l的垂線，垂足為B、C，E是BC上一動點，連接AD、AE、DE，且∠AED=90度.

（1）如圖①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的長；
（2）如圖②，若點E恰為這段圓弧的圓心，則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關系？請寫出你的結論并予以證明．再探究：當A、D分別在直線l兩側且AB≠CD，而其余條件不變時，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關系？請直接寫出結論，不必證明．

Answer 1

解：（1）∵AB⊥l于B，DC⊥l于C，
∴∠ABE=∠ECD=90°．
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°﹣∠BEA．
又∵∠BAE=90°﹣∠BEA，
∴?∠BAE=∠CED．
∴Rt△ABE∽Rt△ECD．
∴．
∵BE：EC=1：3   BC=16，
∴BE=4，EC=12．
又∵AB=6，
∴CD==8．
在Rt△AED中，由勾股定理得AD==2．
（2）（i）猜想：AB+CD=BC．
證明：在Rt△ABE中，
∵∠ABE=90°
∴∠BAE=90°﹣∠AEB，
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°﹣∠AEB．
∴∠BAE=∠CED．
∵DC⊥BC于點C，∴∠ECD=90°．
由已知，有AE=ED，于是在Rt△ABE和Rt△ECD中，∵，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS）．
∴AB=EC，BE=CD．
∴BC=BE+EC=CD+AB，即AB+CD=BC．
（ii）當A，D分別在直線l兩側時，線段AB，BC，CD有如下等量關系：
AB﹣CD=BC（AB＞CD）或CD﹣AB=BC（AB＜CD）．