Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點O，BE與CD相交于點G，且OE=OD．
（1）求證：OP=OG；
（2）若設AP為x，試求CG（用含x的代數式表示）；
（3）求AP的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，

∵△ABP沿BP翻折至△EBP，

∴△ABP≌△EBP，

∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，

在△ODP和△OEG中， ，

∴△ODP≌△OEG（ASA），

∴OP=OG；

（2）解：∵△ODP≌△OEG，

∴PD=GE，

∴DG=EP，

設AP=EP=x，則PD=GE=6﹣x，DG=x，

∴CG=8﹣x，BG=8﹣（6﹣x）=2+x；

（3）解：由勾股定理得：BC2+CG2=BG2，

即62+（8﹣x）2=（x+2）2，

解得：x=4.8，

∴AP=4.8．

【解析】（1）由矩形的性質得出∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，由折疊的性質得出△ABP≌△EBP，得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA證明△ODP≌△OEG，得出OP=OG；（2）由全等三角形的性質得出PD=GE，得出DG=EP，設AP=EP=x，則PD=GE=6﹣x，DG=x，得出CG=8﹣x，BG=2+x；（3）由勾股定理得出方程，解方程即可．
【考點精析】通過靈活運用翻折變換（折疊問題），掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等即可以解答此題．