Question

【題目】如圖，A、P、B、C是⊙O上四點，∠APC=∠CPB=60°．

（1）求證：△ABC是等邊三角形；

（2）連接OA，OB，當點P位于什么位置時，四邊形PBOA是菱形？并說明理由；

（3）已知PA=a，PB=b，求PC的長（用含a和b的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當點P位于的中點時，四邊形PBOA是菱形，理由見解析；（3）a+b．

【解析】

（1）利用圓周角定理得到∠BAC＝∠CPB＝60°，則∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，從而可判斷△ABC為等邊三角形；

（2）當點P位于的中點時，四邊形PBOA是菱形，連接OP，如圖1，先證明∠AOP＝∠BOP＝60°，再證明△OAP和△OBP都為等邊三角形，從而得到四邊形PBOA是菱形；

（3）如圖2，在PC上截取PD＝PA，證明△APB≌△ADC得到PB＝DC，從而得到PC＝PD＋DC＝PA＋PB＝a＋b．

（1）證明：∵∠BAC=∠CPB=60°，

∠ABC=∠APC=60°，．

∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，

∴△ABC為等邊三角形；

(2)解：當點P位于的中點時，四邊形PBOA是菱形．

理由如下：連接OP，

∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中點，

∴∠AOP=∠BOP=60°

又∵OA=OP=OB，

∴△OAP和△OBP都為等邊三角形，

∴OA=AP=OB=PB

∴四邊形PBOA是菱形．

（3）解：如圖2，在PC上截取PD＝PA，

又∵∠APC＝60°，

∴△APD是等邊三角形，

∴PA＝DA，∠DAP＝60°，

∵∠PAB＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC，

∴∠PAB＝∠DAC，

在△APB和△ADC中

，

∴△APB≌△ADC（ASA），

∴PB＝DC，

又∵PA＝PD，

∴PC＝PD＋DC＝PA＋PB＝a＋b．