Question

【題目】如圖（1），的頂點、、分別與正方形的頂點、、重合.

（1）若正方形的邊長為，用含的代數式表示：正方形的周長等于_______，的面積等于_______.

（2）如圖2，將繞點順時針旋轉，邊和正方形的邊交于點.連結，設旋轉角.

①試說明；

②若有一個內角等于，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）①見解析；②β=15°.

【解析】

（1）根據正方形的周長和等腰直角三角形的計算公式計算即可；

（2）①根據∠ECF和∠ACD都是45°即可說明；②首先判定△CAE是等腰三角形，明確∠β=∠ACE，再對的內角展開討論，即可求得結果.

解：（1）正方形的周長等于，的面積等于.

故答案為，；

（2）①如圖，∵的頂點、、分別與正方形的頂點、、重合，

∴是等腰直角三角形，∴∠ECF=45°，

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，

即∠ACF+∠1=45°，∠DCP+∠1=45°，

∴.

②∵CA=CE，∴∠CAE=∠CEA，且∠CAE＜90°，

若∠PAE=60°，則∠CAE=45°+60°=105°>90°，不符合題意；

若∠APE=60°，則∠APC=120°，∴∠1=180°―120°―45°=15°，∴∠BCF=∠1=15°，即旋轉角β=15°；

若∠AEP=60°，則∠CAE=60°，所以∠1=60°>45°，此時點P在AD的延長線上，與題意中“邊和正方形的邊交于點”相矛盾，不符合題意；

綜上，旋轉角β=15°.