Question

下列說法
①如圖1，扇形OAB的圓心角∠AOB=90°，OA=6，點C是

AB

上異于A、B的動點，過點C作CD⊥OA于D，作CE⊥OB于E，連接DE，點G在線段DE上，且DG=

1

3

DE，連接CG．當點C在

AB

上運動時，在CD、CG、DG中，長度不變的是DG；
②如圖2，正方形紙片ABCD的邊長為8，⊙O的半徑為2，圓心O在正方形的中心上，將紙片按圖示方式折疊，折疊后點A于點H重合，且EH切⊙O于點H，延長FH交CD邊于點G，則HG的長為

19

3

；
③已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，則其內心和外心之間的距離是

5

cm．
其中正確的有

①②

 （請寫序號，少選，錯選均不得分）

Answer 1

分析：①連接OC，由于四邊形ODCE是矩形，而矩形的對角線相等，所以DE=OC，而CO是圓的半徑，這樣DE的長度不變，也就DG的長度不變；
②連AC，過F作FM⊥DC于M，根據折疊的性質得∠EHF=∠EAF=90°，FH=FA，由EH恰好與⊙0相切于點H，根據切線的性質得OH⊥EH，則點F、H、O共線，即FG過圓心O；再根據正方形的性質得到AC經過點O，且OA=OC，易證得△OAF≌△OCG，則OF=OG，AF=CG，易得FH=GN，設FA=x，DC=8，ON=2，則FH=DM=CG=GN=x，FG=FH+HN+NG=2x+4，MG=DC-DM-CG=8-2x，在Rt△FGM中，利用勾股定理得到FG²=FM²+MG²，即（2x+4）²=8²+（8-2x）²，解出x=

7

3

，則可計算出HG=HN+NG=4+

7

3

=

19

3

；
③首先運用勾股定理求出斜邊AB=5cm，因為直角三角形的外心是斜邊的中點，則外接圓的半徑是斜邊的一半，即為

5

2

cm．直角三角形的內切圓的半徑r和三邊的關系為r=

a+b-c

2

，（a，b為兩直角邊，c為斜邊）可求的r．再運用勾股定理求外心與內心之間的距離即可．

解答：①解：連接OC，如圖1，
∵扇形OAB的圓心角∠AOB=90°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠AOE=∠CEO=∠CDO=90°，
∴四邊形EODC是矩形，
∴OC=DE，
∵DG=

1

3

DE，
∴DG=

1

3

OC=

1

3

DE，
∴當點C在

AB

上運動時，在CD、CG、DG中，長度不變的是DG，故該選項正確；

②解：連AC，過F作FM⊥DC于M，如圖2．
∵△AEF沿EF折疊得到△HEF，
∴∠EHF=∠EAF=90°，FH=FA，
∵EH恰好與⊙0相切于點H，
∴OH⊥EH，
∴點F、H、O共線，即FG過圓心O，
又∵點O為正方形的中心，
∴AC經過點O，
∴OA=OC，
在△OAF和△OCG中，

∠AFO=∠CGO ∠AOF=∠COG AO=CO

，
∴△OAF≌△OCG，
∴OF=OG，AF=CG，
∵OA′=ON，
∴FA′=GN，
設FA=x，DC=8，ON=2，則FH=DM=CG=GN=x，FG=FM+HN+NG=2x+4，MG=DC-DM-CG=8-2x，
在Rt△FGH中，FG²=FM²+MG²，
∴（2x+4）²=8²+（8-2x）²，解得x=

7

3

，
HG=HN+NG=4+

7

3

=

19

3

，故該選項正確；

③解：如圖3，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB=5cm，
∴AM為外接圓半徑，
∴AM=

1

2

AB=2.5cm
設Rt△ABC的內切圓的半徑為r，則OD=OE=r，∠C=90°，
∵四邊形OECD是正方形，
∴CE=CD=r，AE=AN=3-r，BD=BN=4-r，
即4-r+3-r=5，
解得r=1cm，
∴AN=2cm；
在Rt△OMN中，
MN=AM-AN=

5

2

-2=

1

2

cm，
∴OM=

12+( 1 2 )2

=

5

2

cm，
∴內心和外心之間的距離是

5

2

cm，故該選項錯誤；
故答案為：①②．

點評：①本題考查了矩形的判定、矩形的性質以及圓的半徑處處相等的性質．
②本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了折疊和正方形的性質以及勾股定理．
③本題考查了三角形的外心和內心的性質．直角三角形的外心是斜邊的中點，外接圓的半徑是斜邊的一半；直角三角形的內切圓的半徑r和三邊的關系為r=

a+b-c

2

．