Question

【題目】已知點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB＝OC.

(1)如圖1，若點O在邊BC上，求證：∠ABC＝∠ACB；

(2)如圖2，若點O在△ABC的內部，則∠ABC＝∠ACB成立嗎？并說明理由；

(3)若點O在△ABC的外部，則∠ABC＝∠ACB成立嗎？請畫圖表示．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）根據HL證Rt△OEB≌Rt△OFC，根據全等三角形的性質得出∠ABC=∠ACB，即可得出答案；

（2）根據HL證Rt△OEB≌Rt△OFC，根據全等三角形的性質得出∠EBO=∠FCO，即可得出答案；

（3）畫出符合條件的兩種情況：圖③和圖④，根據HL證Rt△OEB≌Rt△OFC，根據全等三角形的性質得出∠EBO=∠FCO，即可得出答案．

（1）證明：如圖1，

過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

則∠OEB=∠OFC=90°，

∵點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，

∴OE=OF，

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠ABC=∠ACB；

（2）證明：如圖2，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

則∠OEB=∠OFC=90°，

∵點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，

∴OE=OF，

在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠ABO=∠ACO，

∵∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB；

（3）解：若O點在△ABC的外部，∠ABC=∠ACB不一定成立，

理由是：①當∠A的平分線和BC的垂直平分線重合時，如圖3，

過O作OE⊥AB交AB的延長線于E，OF⊥AC交AC的延長線于F，

則∠OEB=∠OFC=90°，

∵點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，

∴OE=OF，

在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠EBO=∠FCO，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵∠ABC=180°-（∠OBC+∠EBO），∠ACB=180°-（∠OCB+∠FCO），

∴∠ABC=∠ACB；

②當∠A的平分線和BC的垂直平分線不重合時，如圖④，

此時∠ABC和∠ACB不相等．