Question

【題目】如圖，在中，，，，在上，且，過點作射線（AN與BC在AC同側），若動點從點出發，沿射線勻速運動，運動速度為/，設點運動時間為秒．

（1）經過_______秒時，是等腰直角三角形？

（2）當于點時，求此時的值；

（3）過點作于點，已知，請問是否存在點，使是以為腰的等腰三角形？對存在的情況，請求出t的值，對不存在的情況，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）8；（3）2

【解析】

（1）得出兩腰AM=AP時，即可得出答案；

（2）根據垂直的定義和同角的余角相等得到∠CBA=∠AMP，證明△ACB≌△PAM，得出比例式，代入求出AP，即可得出答案；

（3）由勾股定理求出BM的值，可知BD>BM，則不存在點P使的等腰三角形，又由AM<BM，則存在點P使的等腰三角形，可證△MCB≌△PAM得PA的長，即可求出t的值．

解：（1）∵∠PAM=90°，當是等腰直角三角形時，

則有PA=AM=6cm，

∴t=6÷1=6（s）

故答案為：6；

（2）∵，

∴∠AQM=90°，∠PAM=90°，

∴∠AMP+∠BAC=90°，

又∵∠C=90°，

∴∠CBA+∠BAC=90°，

∴∠AMP=∠CBA，

在△ACB和△PAM中，

，

∴△ACB≌△PAM（ASA），

∴PA=AC，

∵，

∴，

∴t=8÷1=8（s），此時的值為8；

（3）∵，，， ，

∴，

由勾股定理得：，

∵，，

∴BD>BM，則不存在點P使的等腰三角形，

又∵AM<BM，則存在點P使的等腰三角形，

在Rt△MCB和Rt△PAM中，

，

∴△MCB≌△PAM（HL），

∴PA=CM=2cm，

∴t=2÷1=2（s），此時的值為2．