Question

情境一
我們知道：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．
我們還知道：①圓心角的度數(shù)等于與它所對(duì)的弧的度數(shù)，②同弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半．由此，小明得到一個(gè)正確的結(jié)論：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半．如圖1，∠LMN=．
問題1  填空：如圖1，如果的度數(shù)是80，那么∠LMN的度數(shù)是______．
情境二
小明把頂點(diǎn)在圓外，并且兩邊都和圓相交的角叫圓外角，并繼續(xù)探索．
如圖2，∵∠PTQ是△OPT的一個(gè)外角，
∴∠PTQ=∠O+∠P．
∴∠O=∠PTQ-∠P．
∵圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半（已在情境一中證明），
∴∠PTQ=，∠P=．
∴∠O=∠PTQ-∠P=-=（）．
經(jīng)歷了上述探索、證明過程，小明發(fā)現(xiàn)了“圓外角的度數(shù)等于它所夾的較大弧的度數(shù)減去較小弧的度數(shù)所得差的一半”這個(gè)正確結(jié)論．
問題2  填空：如圖2，如果=80°，=20°，那么∠O=______°．
問題3  類比情境二的內(nèi)容，請(qǐng)你就角的頂點(diǎn)在圓內(nèi)的情況進(jìn)行探索．寫出你的發(fā)現(xiàn)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：問題1：根據(jù)圓心角定理得出所對(duì)圓心角度數(shù)，再利用圓周角定理得出答案即可．
問題2：利用證明的結(jié)論圓外角的度數(shù)等于它所夾的較大弧的度數(shù)減去較小弧的度數(shù)所得差的一半，得出∠O的度數(shù)即可．
問題3：利用圖形可以得出圓內(nèi)角的度數(shù)等于它和它的對(duì)頂角所對(duì)兩弧的度數(shù)和的一半，根據(jù)圓周角定理得出∠C=，∠D=，再利用三角形的外角性質(zhì)得出答案即可．
解答：解：
問題1：
∵的度數(shù)是80，
∴所對(duì)圓心角為80°，
∴∠LMN的度數(shù)是：×80=40，
故答案為：40．

問題2：∵圓外角的度數(shù)等于它所夾的較大弧的度數(shù)減去較小弧的度數(shù)所得差的一半，=80°，=20°
∴∠O=（80°-20°）=30°．
故答案為：30；

問題3：頂點(diǎn)在圓內(nèi)的角叫圓內(nèi)角．（圓內(nèi)角的名稱可以用其他名稱替代），
圓內(nèi)角的度數(shù)等于它和它的對(duì)頂角所對(duì)兩弧的度數(shù)和的一半．
證明：如圖，延長(zhǎng)BA，交圓于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA，交圓于點(diǎn)E，連接CD．
∵∠BAC是△ACD 的一個(gè)外角，
∴∠BAC=∠C+∠D．
∵圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半（已在情境一中證明），
∴∠C=，∠D=．
∴∠BAC=∠C+∠D=+=（+）．
∴命題成立．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理的應(yīng)用以及弧度與圓心角的關(guān)系和探索性問題，根據(jù)已知探索方法進(jìn)行模仿變式進(jìn)而得出新的規(guī)律是解題關(guān)鍵．