Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點A（﹣， 0），點B（2，0），與y軸交于點C（0，1），連接BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）N為拋物線上的一個動點，過點N作NP⊥x軸于點P，設點N的橫坐標為t（﹣＜t＜2），求△ABN的面積s與t的函數解析式；

（3）若0＜t＜2且t≠0時，△OPN∽△COB，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+1；（2）S=﹣t2+t+；（3）點N的坐標為（1，2）

【解析】

（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，然后利用待定系數法即可得；

（2）當﹣＜t＜2時，點N在x軸上方，則NP等于點N的縱坐標，求出AB的長，然后利用三角形面積公式即可得；

（3）根據相似三角形的性質可得PN=2PO，由于PN=﹣t2+t+1，PO=|t|=t，可得關于t的方程，解這個方程即可解決這個問題.

（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，由題意可得： ，

解得：，

∴拋物線的函數關系式為y=﹣x2+x+1；

（2）當﹣＜t＜2時，yN＞0，

∴NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1，

∴S=ABPN

=×（2+）×（﹣t2+t+1）

=（﹣t2+t+1）

=﹣t2+t+；

（3）∵△OPN∽△COB，

∴，

∴，

∴PN=2PO，

當0＜t＜2時，PN=|yN|=yN=﹣t2+t+1，PO=|t|=t，

∴﹣t2+t+1=2t，

整理得：3t2﹣t﹣2=0，

解得：t1=﹣，t2=1．

∵﹣＜0，0＜1＜2，

∴t=1，此時點N的坐標為（1，2），

故點N的坐標為（1，2）．