Question

如圖，已知等邊，以邊BC為直徑的半圓與邊AB,AC分別交于點D、E,過點D作DF⊥AC于點F，

（1）判斷DF與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）過點F作FH⊥BC于點H，若等邊的邊長為8，求AF，FH的長。

Answer 1

（1）DF與⊙O相切，證明見解析（2）2，

（1）DF與⊙O相切   …………………………1分
證明：連接OD 
∵是等邊三角形    
∴∠A=∠B=∠C=60⁰                                    
∵OD=OB
∴△ODB是等邊三角形 ……………………………2分
∴∠DOB=60⁰
∴∠DOB =∠C=60⁰
∴OD∥AC
∵DF⊥AC
∴ DO⊥DF  …………………………………………4分
∴DF與⊙O相切………………………………………5分
（2）解：連接CD          
∵CB是⊙O直徑                        
∴DC⊥AB                             
又∵AC=CB=AB                        
∴D是AB中點                          
∴AD=                   
在直角三角形ADF中                      
∠A=60⁰  ∠ADF=30⁰  ∠AFD=90⁰            
∴………….7分
∴FC=AC-AF=8-2=6
∵ FH⊥BC
∴∠FHC=90⁰
∵∠C=60⁰
∴ ∠FHC=30⁰
∴
∴ …..9分
(1)根據“經過半徑的外端且與半徑垂直的直線是圓的切線”定理，（連半徑，證垂直即可）
（2）利用直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形的三線合一及直角三角形的勾股定理即可