Question

【題目】勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發現，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：

將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2.

證明：連結DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b﹣a，

∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC= 12 b2+ 12 ab．

又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB= 12 c2+ 12 a（b﹣a）

∴ 12 b2+ 12 ab= 12 c2+ 12 a（b﹣a）

∴a2+b2=c2

請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明．

將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°．求證：a2+b2=c2 ．

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】試題分析：首先連結BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，表示出S五邊形ACBED ，兩者相等，整理即可得證．

試題解析：連結BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，

∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+ b2+ ab，

又∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE= ab+ c2+ a（b﹣a），

∴ab+b2+ ab= ab+c2+a（b﹣a），

∴a2+b2=c2 ．