Question

【題目】如圖,平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于O,且AC平分∠DAB

(1)求證:四邊形ABCD是菱形

(2)若AC=16,BD=12,試求點O到AB的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4.8

【解析】

(1)由平行四邊形的對邊平行得∠DAC=∠BCA，由角平分線的性質得∠DAC=∠BAC，即可知∠BCA=∠BAC，從而得AB=BC，即可得證；

(2)由菱形的對角線互相垂直且平分得AO=8、BO=6且∠AOB=90°，利用勾股定理得AB=10，根據S△AOB=ABh=AOBO即可得答案．

(1)∵平行四邊形ABCD，

∴AD//BC，

∴∠DAC=∠BCA，

∵AC平分∠DAB，

∴∠CAD=∠BAC，

∴∠ACB=∠BAC，

∴AB=BC，

∴ABCD是菱形；

(2)∵四邊形ABCD是菱形，AC=16，BD=12，

所以AO=8，BO=6，

∵∠AOB=90°，

∴AB==10，

設O點到AB的距離為h，則

S△AOB=ABh=AOBO，

即：×10h=×8×6，

解得h=4.8，

所以O點到AB的距離為4.8.