Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B坐標為（4，t）（t＞0），二次函數（b＜0）的圖象經過點B，頂點為點D．

（1）當t=12時，頂點D到x軸的距離等于 ；

（2）點E是二次函數（b＜0）的圖象與x軸的一個公共點（點E與點O不重合），求OEEA的最大值及取得最大值時的二次函數表達式；

（3）矩形OABC的對角線OB、AC交于點F，直線l平行于x軸，交二次函數（b＜0）的圖象于點M、N，連接DM、DN，當△DMN≌△FOC時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）OEAE的最大值為4，拋物線的表達式為；（3）．

【解析】試題分析：（1）當t=12時，B（4，12），將點B的坐標代入拋物線的解析式可求得b的值，于是可得到拋物線的解析式，最后利用配方法可求得點D的坐標，從而可求得點D到x軸的距離；

（2）令y=0得到x2+bx=0，從而可求得方程的解為x=0或x=﹣b，然后列出OEAE關于b的函數關系式，利用配方法可求得b的OEAE的最大值，以及此時b的值，于是可得到拋物線的解析式；

（3）過D作DG⊥MN，垂足為G，過點F作FH⊥CO，垂足為H．依據全等三角形的性質可得到MN=CO=t，DG=FH=2，然后由點D的坐標可得到點N的坐標，最后將點N的坐標代入拋物線的解析式可求得t的值．

試題解析：解：（1）當t=12時，B（4，12）．

將點B的坐標代入拋物線的解析式得：16+4b=12，解得：b=﹣1，∴拋物線的解析式，∴，∴D（， ），∴頂點D與x軸的距離為．故答案為： ．

（2）將y=0代入拋物線的解析式得：x2+bx=0，解得x=0或x=﹣b，∵OA=4，∴AE=4﹣（﹣b）=4+b，∴OEAE=﹣b（4+b）=﹣b2﹣4b=﹣（b+2）2+4，∴OEAE的最大值為4，此時b的值為﹣2，∴拋物線的表達式為．

（3）過D作DG⊥MN，垂足為G，過點F作FH⊥CO，垂足為H．

∵△DMN≌△FOC，∴MN=CO=t，DG=FH=2．∵D（﹣，﹣），∴N（﹣，﹣ +2），即（， ）．把點N和坐標代入拋物線的解析式得： =（）2+b（），解得：t=±．∵t＞0，∴t=．