Question

如圖①，已知點(diǎn)D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)．
（1）求證：△BMD為等腰直角三角形；
（2）將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②所示，則（1）題中的結(jié)論“△BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出BM=EN=MC，DM=EM=MC，然后根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可以證明∠BMD=90°，所以△BMD為等腰直角三角形；
（2）延長(zhǎng)DM交BC于N，先根據(jù)∠EDB=∠ABC=90°證明ED∥BC，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠DEM=∠MCN，從而證明△EDM與△MNC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DM=MN，然后即可證明BM⊥DM，且BM=DM．

解答：（1）證明：∵點(diǎn)M是Rt△BEC的斜邊EC的中點(diǎn)，
∴BM=

1

2

EC=MC，
∴∠MBC=∠MCB．
∴∠BME=2∠BCM．（2分）
同理可證：DM=

1

2

EC=MC，∠EMD=2∠MCD．
∴∠BMD=2∠BCA=90°，（4分）
∴BM=DM．
∴△BMD是等腰直角三角形．（5分）

（2）（1）題中的結(jié)論仍然成立．
理由：延長(zhǎng)DM與BC交于點(diǎn)N，（6分）
∵DE⊥AB，CB⊥AB，
∴∠EDB=∠CBD=90°，
∴DE∥BC．
∴∠DEM=∠MCN．
又∵∠EMD=∠NMC，EM=MC，
∴△EDM≌△MNC．（8分）
∴DM=MN．DE=NC=AD．
又AB=BC，
∴AB-AD=BC-CN，
∴BD=BN．
∴BM⊥DM．即∠BMD=90°．（9分）
∵∠ABC=90°，
∴BM=

1

2

DN=DM．
∴△BMD是等腰直角三角形．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握判定定理及性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，難度中等．