Question

已知：如圖，拋物線y=x²+bx+c（b、c為常數）經過原點和E（3，0）．
（1）求該拋物線所對應的函數關系式；
（2）設A是該拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C．
①當BC=1時，求矩形ABCD的周長；
②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值及此時點A的坐標；如果不存在，請說明理由；
③當B（

1

2

，0）時，x軸上是否存在兩點P、Q（點P在點Q的左邊），使得四邊形PQDA是菱形？若存在，請求出符合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把原點及E的坐標分別代入函數關系式即可求出未知數的值，從而求出函數的解析式．
（2）
①根據二次函數解析式，求出與x軸0的交點坐標及拋物線對稱軸，根據拋物線和矩形的對稱性求出B點坐標，因為AB∥y軸，所以可知A、B橫坐標相同，將B點橫坐標代入解析式可以求出A點縱坐標，A、B兩點縱標之差的絕對值即為AB的長，易求得矩形ABCD的周長；
②因為AB∥y軸，所以可知A、B橫坐標相同，設B點橫坐標為x，代入解析式可以求出A點縱坐標表達式，再根據拋物線和矩形的對稱性，求出BC的長度表達式，然后將周長最值問題轉化為關于x的二次函數的最值問題解答；
③分點P在AB的左側和點P在點B的右側兩種情況解答．先假設該圖形存在，根據菱形的性質和圖形上點的坐標特點求出滿足條件的P、Q兩點．

解答：解：
（1）由已知條件，得：

0+0+c=0 9+3b+c=0

解得：

b=-3 c=0

∴所求的函數關系式為y=x²-3x（2分）

（2）①由y=x²-3x，令y=0，
得x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3；
∴拋物線與x軸的另一個交點為（3，0）（3分）
∴它的頂點為（

3

2

，-

9

4

），對稱軸為直線x=

3

2

∵BC=1，由拋物線和矩形的對稱性易知OB=

1

2

（3-1）=1
∴B（1，0）（4分）
∴點A的橫坐標x=1，又點A在拋物線y=x²-3x上，
∴點A的縱坐標y=1²-3×1=-2．
∴AB=|y|=2
∴矩形ABCD的周長為：2（AB+BC）=6（5分）
②∵點A在拋物線y=x²-3x上，可以設A點的坐標為（x，x²-3x），
∴B點的坐標為（x，0）．（0＜x＜

3

2

）
∴BC=3-2x，A在x軸的下方，
∴x²-3x＜0
∴AB=|x²-3x|=3x-x²
∴矩形ABCD的周長P=2[（3x-x²）+（3-2x）]=-2（x-

1

2

）²+

13

2

（6分）
∵a=-2＜0，
∴當x=

1

2

時，矩形ABCD的周長P最大值是

13

2

，（7分）
此時點A的坐標是（

1

2

，-

5

4

）（8分）
③當B（

1

2

，0）時，A（

1

2

，-

5

4

），D（

5

2

，-

5

4

），
且AD∥PQ．要使四邊形PQDA是菱形，則需PA=PQ=AD=2，
有兩種情況，當點P在AB的左側時，
PB=

PA2-AB2

=

22-( 5 4 )2

=

39

4

而B（

1

2

，0）
∴P（

2- 39

4

，0），此時Q（

10- 39

4

，0）（9分）
當點P在點B的右側時，同理可得此時P（

2+ 39

4

，0），Q（

10+ 39

4

，0）（10分）
綜上所述，存在滿足條件的P、Q兩點．點P的坐標為（

2- 39

4

，0）或（

2+ 39

4

，0）．

點評：此題將拋物線和矩形菱形的周長和面積問題相結合，是一道中考壓軸題．解答時要根據圖形上點的坐標特點建立相應表達式，特別是（2）充分利用圖形特點，轉化為關于二次函數的最值問題解答．