Question

已知，如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=3，CD=2，AD=5，P從D出發沿射線DA運動，且P的速度為每秒1個單位長度，設P的運動時間為t，△PBC的面積為S．
（1）寫出當0≤t≤5時，S與t的函數關系式．
（2）是否存在時刻t使△PBC的周長最小？若存在，在圖中畫出P的位置（只需標明數量關系，不要求證明），并求出t取何值時，△PBC的周長最小；若不存在，請說明理由．
（3）當t為何值時，△PBC為直角三角形，請寫出推理過程（利用圖2解題）．

Answer 1

分析：（1）分別求出△ABP、△CDP、梯形ABCD的面積，再根據圖形得出S=S_梯形ABCD-S_△ABP-S_△CDP代入求出即可；
（2）要使△PBC的周長最小，因為BC的值確定，只要PC+PB最小即可，作B關于AD的對稱點E，連接CE交AD于P，則此時△PBC的周長最小，根據三角形相似得出比例式，代入即可求出t的值；
（3）求出∠BAD=∠CDA=90°，∠ABP=∠DPC，證△ABP∽△DPC，得出比例式，代入即可求出t．

解答：
（1）解：S=S_梯形ABCD-S_△ABP-S_△CDP，
=

1

2

（AB+CD）×AD-

1

2

AB×AP-

1

2

CD×DP，
=

1

2

×（3+2）×5-

1

2

×3×（5-t）-

1

2

×2×t，
=

1

2

t+5，
即當0≤t≤5時，S與t的函數關系式是s=

1

2

t+5．

（2）解：存在時刻t使△PBC的周長最小，如圖2所示：
作B關于AD的對稱點E，連接CE交AD于P，此時△PBC的周長最小，即存在時刻t使△PBC的周長最小，
∵AB∥CD，
∴△CDP∽△EAP，
∴

CD

AE

=

DP

AP

，
∴

2

3

=

t

5-t

，
解得：t=2，
即當t=2時，△PBC的周長最小．

（3）解：要△PBC為直角三角形，只有∠BPC=90°一種情況，
∵∠BPC=∠BAD=∠CDA=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，∠APB+∠DPC=180°-90°=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∵∠BAD=∠CDA，
∴△ABP∽△DPC，
∴

AP

AB

=

CD

DP

，
∴

5-t

3

=

2

t

，
解得：t₁=2，t₂=3，
答：當t是2或3時，△PBC是直角三角形．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，梯形性質，三角形的面積，最短路線問題的應用，主要考查學生運用性質進行推理和計算的能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．