Question

如圖所示，菱形ABCD的邊長為6cm，∠DAB=60°，點M是邊AD上一點，DM=2cm，點E、F分別從A、C同時出發，以1cm/s的速度分別沿邊AB、CB向點B運動，EM、CD的延長線相交于G，GF交AD于O．設運動時間為x（s），△CGF的面積為y（cm²）．
（1）當x為何值時，GD的長度是2cm？
（2）求y與x之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻，使得線段GF把菱形ABCD分成的上、下兩部分的面積之比為1：5？若存在，求出此時x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）易證△DMG∽△AME，故有

DG

AE

=

DM

AM

=

1

2

，故有當x=4s時，GD的長度是2cm．
（2）過F作FH⊥DC于H點，則有y=

1

2

GC•FH，故利用相似三角形的性質和正弦的概念求得GC和FH的值即可，
（3）過D作DP⊥BC于P，由菱形的高PD=6×sin60°=3

3

，求得菱形的面積，所以當S_梯形ODCF=

1

6

S_菱形時有使得線段GF把菱形ABCD分成的上、下兩部分的面積之比為1：5，利用相似三角形的性質，用x表示出梯形的上下底OD，CF，代入面積公式中建立方程而求解．

解答：解：（1）∵DC∥AB，
∴△DMG∽△AME，
∴

DG

AE

=

DM

AM

，
∴AE=

AM•DG

DM

=4，
即當x=4s時，GD的長度是2cm．

（2）∵△DMG∽△AME，
∴

DG

AE

=

DM

AM

，
∴DG=

DM•AE

AM

=

2x

4

=

x

2

，
∴GC=6+

x

2

，
過F作FH⊥DC于H點，
∴FH=CF•sin60°=

3

2

x，
∴y=

1

2

GC•FH，
=

1

2

(6+

x

2

)•

3

2

x=

3

8

x2+

3 3

2

x．

（3）設運動x（s）時，GF分菱形上、下兩部分的面積比為1：5，
此時△OGD∽△FGC，
∴

GD

GC

=

OD

FC

，
∴OD=

GD•FC

GC

=

x 2 •x

6+ x 2

=

x2

x+12

，
過D作DP⊥BC于P，則PD=6×sin60°=3

3

，
由題意知，

1

2

(

x2

x+12

+x)•3

3

=

1

6

×6×3

3

，
即

x2

x+12

+x=2，
解得：x1=

73 -5

2

x2=

- 73 -5

2

（舍去），
經檢驗：x=

73 -5

2

是原方程的解．
∴當x=

73 -5

2

時，GF分菱形上、下兩部分的面積比為1：5．

點評：本題利用了菱形和梯形的性質，銳角三角函數的概念，相似三角形的判定和性質，分式方程的解法，