Question

【題目】閱讀：我們約定，在平面直角坐標系中，經過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”．例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．

問題與探究：如圖，在平面直角坐標系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線 經過B、C兩點，頂點D在正方形內部．
（1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線；
（2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；
（3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點A落在點A′的位置，當點A′在平行于坐標軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點D（m，n），

∴點D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n

（2）

解：點D有一條特征線是y=x+1，

∴n﹣m=1，

∴n=m+1

∵拋物線解析式為 ，

∴y= （x﹣m）2+m+1，

∵四邊形OABC是正方形，且D點為正方形的對稱軸，D（m，n），

∴B（2m，2m），

∴ （2m﹣m）2+n=2m，將n=m+1帶入得到m=2，n=3；

∴D（2，3），

∴拋物線解析式為y= （x﹣2）2+3

（3）

解：如圖，當點A′在平行于y軸的D點的特征線時，

根據題意可得，D（2，3），

∴OA′=OA=4，OM=2，

∴∠A′OM=60°，

∴∠A′OP=∠AOP=30°，

∴MN= ，

∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣ = ．

乳頭，當點A′在平行于x軸的D點的特征線時，

∵頂點落在OP上，

∴A′與D重合，

∴A′（2，3），

設P（4，c）（c＞0），

由折疊有，PD=PA，

∴ =c，

∴c= ，

∴P（4， ）

∴直線OP解析式為y= ，

∴N（2， ），

∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣ = ，

即：拋物線向下平移 或 距離，其頂點落在OP上

【解析】（1）根據特征線直接求出點D的特征線；
（2）由點D的一條特征線和正方形的性質求出點D的坐標，從而求出拋物線解析式；
（3）分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質計算即可．此題是二次函數綜合題，主要考查了折疊的性質，正方形的性質，特征線的理解，解本題的關鍵是用正方形的性質求出點D的坐標．
【考點精析】掌握正方形的性質和翻折變換（折疊問題）是解答本題的根本，需要知道正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．