Question

【題目】將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．動點Q從點O出發以每秒1個單位長的速度沿OC向終點C運動，運動 秒時，動點P從點A出發以相等的速度沿AO向終點O運動．當其中一點到達終點時，另一點也停止運動．設點P的運動時間為t（秒）．

（1）求點B的坐標，并用含t的代數式表示OP，OQ；
（2）當t=1時，如圖1，將△OPQ沿PQ翻折，點O恰好落在CB邊上的點D處，求點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，矩形對角線AC，BO交于M，取OM中點G，BM中點H，求證：當t=1時四邊形DGPH是平行四邊形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵O（0，0），A（6，0），C（0，3），

∴OA=6，OC=3，

∵四邊形OABC是矩形，

∴AB=OC=3，BC=OA=6，

∴B（6，3），

∵動點Q從O點以每秒1個單位長的速度沿OC向終點C運動，運動 秒時，動點P從點A出發以相等的速度沿AO向終點O運動．

∴當點P的運動時間為t（秒）時，

AP=t，OQ= +t，

則OP=OA﹣AP=6﹣t；

（2）

解：當t=1時，OQ= ，則CQ=CQ=OC﹣OQ= ，

由折疊可知：△OPQ≌△DPQ，

∴OQ=DQ= ，

由勾股定理，得：CD=1，

∴D（1，3）；

（3）

證明：如圖所示，

由（1），（2）知：當t=1時，

CD=AP=1，OA=BC=6

∴BC﹣CD=OA﹣AP，即BD=OP=5，

∵四邊形OABC是矩形，

∴OM=MB，OA∥BC，

∵G為OM中點，H為BM中點，

∴OG=BH，

∵OA∥BC，

∴∠CBO=∠AOB，

在△POG和△DBH中，

∵ ，

∴△POG≌△DBH（SAS），

∴∠OGP=∠BHD，PG=DH，

∴∠MGP=∠DHM，

∴PG∥DH，

∵PG=DH，

∴四邊形DGPH是平行四邊形．

故當t=1時四邊形DGPH是平行四邊形．

【解析】（1）由O（0，0），A（6，0），C（0，3），可得：OA=6，OC=3，根據矩形的對邊平行且相等，可得：AB=OC=3，BC=OA=6，進而可得點B的坐標為：（6，3），然后根據P點與Q點的運動速度與運動時間即可用含t的代數式表示OP，OQ；（2）由翻折的性質可知：△OPQ≌△DPQ，進而可得：DQ=OQ，然后由t=1時，DQ=OQ= ，CQ=OC﹣OQ= ，然后利用勾股定理可求CD的值，進而可求點D的坐標；（3）由（1），（2）知：當t=1時，CD=AP=1，OA=BC=6，進而可得：BD=OP=5，然后由矩形的性質可得：OG=BH，∠CBO=∠AOB，然后根據SAS證明△POG≌△DBH，進而可得PG∥DH，PG=DH，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求證：當t=1時四邊形DGPH是平行四邊形．