Question

【題目】如圖1，平行四邊形ABCD在平面直角坐標系中，A、B（點A在點B的左側）兩點的橫坐標是方程的兩個根，點D在y軸上其中．

（1）求平行四邊形ABCD的面積；

（2）若P是第一象限位于直線BD上方的一點，過P作于E，過E作軸于H點，作PF∥y軸交直線BD于F，F為BD中點，其中△PEF的周長是；若M為線段AD上一動點，N為直線BD上一動點，連接HN，NM，求的最小值，此時y軸上有一個動點G，當最大時，求G點坐標；

（3）在（2）的情況下，將△AOD繞O點逆時針旋轉60°后得到如圖2，將線段沿著x軸平移，記平移過程中的線段為，在平面直角坐標系中是否存在點S，使得以點，，E，S為頂點的四邊形為菱形，若存在，請求出點S的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）S平行四邊形ABCD=48；（2）G（0，），見解析；（3）滿足條件的點S的坐標為或或，見解析.

【解析】

（1）解方程求出A，B兩點坐標，在Rt△AOD中，求出OD即可解決問題．

（2）首先證明△EHB也是等腰直角三角形，以HE，HB為邊構造正方形EHBJ，連接JN，延長JE交OD于Q，作MT⊥OD于T，連接JT．在Rt△DMT中，易知MT= DM，根據對稱性可知：NH=NJ，推出HN+MM-DM=NJ+MN-MT≤JT，推出當JT最小時，HN+MM-DM的值最小．如圖2中當點M在JQ的延長線上時，HN+MM-DM的值最小，此時M（-，5），作點M關于y軸對稱點M′，連接CM′，延長CM′交y軸于點G，此時|CG-MG|最大，求出直線CM′的解析式即可解決問題．

（3）分五種情形分別畫出圖形，利用菱形的性質，中點坐標公式等知識一一求解即可．

解：（1）由得到x=-2或6；

∴A（-2，0），B（6，0）；

在Rt△ADO中，∵∠AOD=90°，AD=2 ，OA=2；

，

∵OB=6，

∴OD=OB=6，

∴△BOD是等腰直角三角形，

∴S平行四邊形ABCD=ABOD=8×6=48；

（2）如圖1中，

∵EH⊥OB，

∴∠EHB=90°，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴∠EBH=45°，

∴△EHB也是等腰直角三角形，

以HE，HB為邊構造正方形EHBJ，連接JN，延長JE交OD于Q，作MT⊥OD于T，連接JT，在Rt△DMT中，易知MT=DM，

∵四邊形EHBJ是正方形，

根據對稱性可知：NH=NJ，

∴HN+MM-DM=NJ+MN-MT≤JT，

∴當JT最小時，HN+MM-DM的值最小，

∵JT≤JQ，

∴JT≤OB=6，

∴HN+MM-DM的最小值為6．

如圖2中，∵PF∥y軸，

∴∠PFE=∠ODB=45°，

∴△PEF是等腰直角三角形，設PE=EF=a，則PF=a，

由題意2a+a=4+4，

∴a=2，

∵FB=FD，

∴F（3，3），

∴E（1，5），

∴當點M在JQ的延長線上時，HN+MM-DM的值最小，此時M（-，5），作點M關于y軸對稱點M′，連接CM′，延長CM′交y軸于點G，此時|CG-MG|最大，

∵C（8，6），M′（，5），

∴直線CM′的解析式為，

∴G（0，）；

（3）存在．設菱形的對角線的交點為J．

①如圖3-1中，當O′D″是對角線時，設ES交x軸于T．

∵四邊形EO′SD″是菱形，

∴ES⊥O′D″，

∴直線ES的解析式為，

∴T，

在Rt△JTO′中，易知O′J=3，∠TO′J=30°，

∴O′T=2，

，

∵JE=JS，

∴可得S，

②如圖3-2中，當EO′=O′D″=6時，可得四邊形SEO′D″是菱形，設O′（m，0）．

則有：（m-1）2+52=36，

∴m=1+或1- ，

∴O′（1+，0）或（1-，0）（如圖3-3中），

∴D″（1+-3，3），

∴；

∵JS=JO′，

，

③如圖3-3中，當EO′=O′D″時，由②可知O′（1-，0）．同法可得

④如圖3-4中，當ED″=D″O′=6時，可得四邊形ESO′D″是菱形．

設D″（m，3），則（m-1）2+22=36，

∴m=1+4 （圖5中情形），或m=1-4，

，

,

∵JD″=JS，

∴可得S（1+3 ，2），

⑤如圖3-5中，當D″E=D″O時，由④可知D″（1+4 ，3），

，

，

∵JD″=JS，

∴可得S（1+3，2），

綜上所述，滿足條件的點S的坐標為或或.