Question

【題目】已知，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=4,PB=3,PC=5.線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ,連接PQ.(1)求PQ的長(zhǎng)。（2）求∠APB的度數(shù)。

Answer 1

【答案】（1）4（2）150°

【解析】試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AP=AQ，然后可證明△APQ為等邊三角形，從而可求得PQ的長(zhǎng)；

（2）先依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△APB≌△AQC，從而得到QC的長(zhǎng)，然后依據(jù)勾股定理的逆定理證明△PQC為直角三角形，故此可求得∠AQC的度數(shù)，從而得到∠APB的度數(shù)．

解：（1）∵AP=AQ，∠PAQ=60°

∴△APQ是等邊三角形，

∴PQ=AP=4．

（2）連接QC．

∵△ABC、△APQ是等邊三角形，

∴∠BAC=∠PAQ=60°，

∴∠BAP=∠CAQ=60°﹣∠PAC．

在△ABP和△ACQ中，

∴△ABP≌△ACQ．

∴BP=CQ=3，∠APB=∠AQC，

∵在△PQC中，PQ2+CQ2=PC2

∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°

∵△APQ是等邊三角形，

∴∠AQP=60°

∴∠APB=∠AQC=60°+90°=150°．