Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點和點，與軸交于點，其對稱軸1為．

（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點坐標；

（2）若動點在第二象限內的拋物線上，動點在對稱軸1上．

①當，且時，求此時點的坐標；

②當四邊形的面積最大時，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，頂點為（﹣1，4）；（2）①；②，．

【解析】

（1）把點A、B、C的坐標代入二次函數表達式，即可求解；

（2）①由PA⊥NA，且PA=NA，可證△PAD≌△ANQ（AAS），則PD=AQ，PD=AQ=AO-QO=3-1=2，即：即y=-x2-2x+3=2，即可求解；

②利用S四邊形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA，求解即可．

解：（1）把點A、B、C的坐標代入二次函數表達式得：，解得，

故：拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，

∴頂點坐標為（﹣1，4）；

（2）∵A（﹣3，0），B（1，0），

OA＝3，OB＝1，

如解圖，作PD⊥x軸于點D，設對稱軸l與x軸交于點Q，連接AC，OP，

①∵點P在y＝﹣x2﹣2x+3上，

∴設點P（x，﹣x2﹣2x+3），

∵PA⊥NA，且PA＝NA，

∴∠PAD+∠APD＝∠PAD+∠NAQ＝90°，

∴∠APD＝∠NAQ，

又∵∠PDA＝∠AQN＝90°，

∴△PAD≌△ANQ（AAS），

∴PD＝AQ，

∴PD＝AQ＝AO﹣QO＝3﹣1＝2

即：y＝﹣x2﹣2x+3＝2

解得：（舍去）或

∴點P坐標為；

②連接OP，設P（x，﹣x2﹣2x+3），且﹣3＜x＜0

S四邊形PABC＝S△OBC+S△CPO+S△POA

∵，

又﹣3＜x＜0，所以，

∴S四邊形PABC＝S△OBC+S△CPO+S△POA

，

∴當時，S四邊形PABC最大為，

此時．